Основы высшей математики и математической статистики (стр. 18 )

x(t)

 

t

Рис. 5.1. Количество отработанных x(t) сезонными рабочими чел.-дней

Используя результаты таблицы 5.8. находим

;

Следовательно, уравнение (5.16) можно представить в виде:

(5.21)

Подставляя в (5.21) соответствующие значения t , найдем xt . Так, на­пример, для января 1995 г. (t=-23) получим:

и т. д.

Рис 5.1 хорошо иллюстрирует сезонные колебания человеко-дней и ли­нейную зависимость выравненного ряда с положительным трендом.

Необходимо отметить, что при перенесении начала отсчета в середину периода параметр а0 представляет собой величину выравненного уровня, at - абсолютный прирост выравненного уровня за единицу измерения времени (в данном примере за полмесяца).

Метод скользящего среднего. Одним из методов выявления общей тен­денции тренда является сглаживание с помощью скользящей средней. Оно заключается в том, что вычисляется средний уровень сначала из определен­ного числа первых по счету уровней ряда, затем из того же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее - начиная с третьего и т. д. Таким образом,, при вычислении этим способом средних уровней (звеньев скользящей сред­ней) происходит как бы скольжение среднего значения звена по ряду дина­мики от его начала к концу, при этом каждый раз отбрасывается один уро­вень в начале и добавляется следующий. Отсюда и название этого приема скользящая (или подвижная) средняя. При этом чем длиннее период, за который вычисляется каждое звено скользящей средней, тем сильнее будет сглажен ряд.

Если уровень ряда динамики колеблется с более или менее определенной периодичностью, то период, охватываемый каждым звеном скользящей сред­ней, целесообразно принять равным периоду колебаний исходных уровней. Так, при наличии месячных уровней, испытывающих ежегодно сезонные ко­лебания, наиболее целесообразно использовать 12-месячную скользящую среднюю, а при наличии квартальных уровней - четырехквартальную сред­нюю и т. п.

Число звеньев скользящей средней всегда меньше числа исходных уров­ней. В этом заключается один из недостатков этого способа, сужающий воз­можности выявления характера динамики.

При использовании метода скользящего среднего удобно выбирать не­четное число значений временного ряда в интервале сглаживания, так как в этом случае сглаженное значение будет соответствовать моментам времени ti, в которые брались реальные значения xi.

Ряд сглаженных значений имеет дисперсию в n раз меньшую, чем дис­персия исходного временного ряда, а поэтому сглаженный ряд более точно отражает характер тренда, он может быть представлен графически и исполь­зован для дальнейшей обработки.

Длину интервала сглаживания надо выбирать с учетом скорости измене­ния ряда и величины разброса значений. Если относительно отрезков прямых разброс небольшой, а скорость изменения тренда ряда велика, то можно ряд сглаживать по малому числу - трем - пяти соседним значениям. Если ско­рость изменения тренда мала, а разброс значений большой, то, не теряя ин­формации об изменении тренда, можно усреднять по большому числу значе­ний (7-9) временного ряда, что позволит уменьшить влияние случайной со­ставляющей.

Если велики и скорость изменения тренда, и разброс значений временно­го ряда, то проводить сглаживание необходимо несколько раз по небольшим интервалам, например, по трем отчетам. Результаты первого сглаживания при этом принимаются за новый временной ряд. Первое сглаживание называют сглаживанием первого порядка, второе - сглаживанием второго порядка и т. д.

Рассмотрим, например, изменение товарооборота аптеки в расчете на од­ну душу населения (в рублях) - таблица 5.9.

Таблица 5.9

T	1977	1978	1979	1980	1981	1982	1983	1984
x(t)	10	17	18	13	17	21	25	29
	12,2	15	16	16	17	21	25	29

Сгладим данный временной ряд по трем отсчетам и получим:

Потерянные первое и последнее значения временного ряда можно опре­делить из следующих соображений. Зная х0, первое значение можно представить следующим образом:

Для вычисления х0 составим уравнение прямой тренда по значениям x1, x2, x3, затем путем обратной экстраполяции вычислим х0 . Определим значения ,a,b:

Уравнение тренда, составленное по первым трем значениям временного ряда, имеет вид:

(5.22)

При t=0 найдем значение , предыдущее по отношению к , по уравнению:

Соответственно:

(5.23)

Формула (5.23) может быть использована и для определения последнего значения сглаженного временного ряда, только порядок нумерации необхо­димо вести с конца, т. е.

(5.24)

Таким образом, приходим к результату:

Описанное сглаживание является сглаживанием первого порядка. Сгла­женный временной ряд показан в таблице 5.9, из которого хорошо просмат­ривается положительная тенденция развития (тренд).

Измерение сезонных колебаний. Многие общественные явления и про­цессы, в том числе и различные заболевания, связанные с явлением природ­ных факторов, имеют периодический характер и носят название сезонных колебаний. Уровень их из года в год в определенные месяцы повышается, а в другие снижается.

Изменение сезонных колебаний в статистике производится путем исчис­ления индексов сезонности. Индекс сезонности представляет собой отноше­ние фактического уровня за тот или иной момент времени к выров­ненному уровню x(t)e за весь исследуемый период времени и выражается в процентах:

§5.4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ РЯДОВ ДИНАМИКИ.

Иногда возникает необходимость определения величины неизвестных промежуточных уровней ряда динамики на основе известных его уровней. Эта операция называется интерполяцией.

Интерполяция производится исходя из предположения о той или иной закономерности изменения уровня явления за рассматриваемый период и но­сит поэтому условный характер. Однако этот метод позволяет определить неизвестный уровень с приемлемой точностью. Результат получается тем точнее, чем меньше и чем короче промежуток времени между периодами или датами известных уровней.

Чаще всего при интерполяции исходят из того, что уровень ряда динами­ки изменяется равномерно, т. е. полагают, что абсолютный прирост или темп роста за равные промежутки времени остаются неизменными. При этих усло­виях неизвестный уровень на основании абсолютного прироста определяется следующим выражением:

где - неизвестный уровень ряда с порядковым номером i,

- начальный уровень,

- средний абсолютный прирост за весь рассматриваемый период, (i - 1) - длина периода, равная разности между порядковыми (или хроноло­гическими) номерами уровней хi и х1.

При сохранении постоянных темпов с использованием среднего темпа роста неизвестный уровень определяется уравнением:

Пример 1. По данным переписи населения, в январе 1959 года в нашей стране было 3,8 млн. чел., имеющих законченное высшее образование. В ян­варе 1965 года по оценке ЦСУ численность лиц с законченным высшим обра­зованием составила 5,6 млн. чел. Полагая, что сохраняется постоянный еже­годный прирост, определить число лиц с высшим образованием в январе ка­ждое промежуточного года.

Решение:

(млн. чел.)

Определим значения промежуточных уровней:

январь 1960г.: (млн. чел.)

январь 1961г.: (млн. чел.)

январь 1962г.: (млн. чел.)

январь 1963г.: (млн. чел.)

январь 1964г.: (млн. чел)

Пример 2. По данным ООН, население земного шара составляло в 1950 году 2508 млн. чел., а в 1960 году - 3010 млн. чел. Считая ежегодный темп роста постоянным, определить численность населения для 1955 и 1956 годов.

Решение. Определим средний темп роста

Определим значения промежуточных уровней для 1955 и 1956 годов.

1955г.: (млн. чел.)

1956г.: (млн. чел)

Операцию определения неизвестных уровней динамического ряда, лежа­щих за его пределами, т. е. либо будущих уровней, либо уровней, предшест­вующих начальному, называют экстраполяцией.

Экстраполяция возможна на основе сохранения прежнего темпа роста или прироста. Например, выше было установлено, что в 1годах число лиц с законченным высшим образованием в среднем увеличивалось на 0,3 млн. чел., следовательно, численность населения с высшим образованием в 1966 году можно определить уравнением:

1966г.: (млн. чел)

соответственно в 1967г.

1967г.: (млн. чел.)

Если население земного шара в г. г. увеличивалось в среднем ежегодно на 1,84 %, а в 1960 году составило 3010 млн. чел., то при сохране­нии темпа роста на прежнем уровне в 1962 году, как показывает экстраполя­ция, должно составить:

(млн. чел.)

Фактически оно равнялось 3135 млн. чел. То есть прогнозирование на ос­нове экстраполяции на небольшие интервалы времени вполне реально. Экст­раполирование на более длительные периоды может привести к значитель­ным ошибкам, так как тенденции, имевшие место в прошлом, в будущем мо­гут изменяться.

Прогнозирование временных рядов. Задача прогнозирования заключа­ется в расчете значений уровней временного ряда для момента времени tn+k, основываясь на экспериментально полученных значениях временного ряда

Прогнозирование является статистической задачей и может осуществ­ляться путем экстраполяции сформировавшейся к настоящему моменту вре­мени тенденции в будущее.

Для решения этой задачи наиболее часто применяются полиномные мо­дели, полученные с использованием метода наименьших квадратов - линей­ные, параболические, экспоненциальные и другие.

Контрольные вопросы.

1.  Что мы понимаем под временным или динамическим рядом?

2. Можно ли использовать временные ряды в медицине и с какой це­лью?

3. Какие ряды динамики вы знаете?

4. Какие ряды динамики называют периодическими или интервальны­
ми?

5. Какие ряды динамики называют моментальными?

6. Какие ряды динамики называют непрерывными? Дискретными?

7. Какие ряды называются стационарными?

8. Какие ряды называются случайными?

9.  Какие ряды называются детерминированными?

10. Что такое уровень?

11. Какие бывают уровни?

12. Что собой представляет абсолютный прирост?

13.  Что собой представляет темп роста?

14. Что такое тренд?

15. Какие существуют типы трендов?

16. Какие существуют методы определения тренда?

17. Что характеризует средний темп роста? Средний темп прироста?

18. Какие существуют приемы выявления тренда?

19. В чем заключается суть прогнозирования и какие для этого сущест­
вуют методы?

УПРАЖНЕНИЯ.

Задача 1. Постройте графическое изображение временного ряда исполь­зуя метод сглаживания по аналитическим формулам, составьте линейное уравнение тренда временного ряда и постройте графическое изображение тренда на этом же графике.

а) Динамика потребления желчегонных препаратов в клинике:

t, год	1990	1991	1992	1993	1994	1995
x(t), тыс. ампул	36	33	27	22	25	23

б) Динамика потребления сердечно - сосудистых препаратов в клинике:

t, год	1990	1991	1992	1993	1994	1995
x(t), тыс. ампул	14	21	29	33	38	34

в) Динамика числа работников, занятых в системе краевого аптекоуправления:

t, год	1990	1991	1992	1993	1994	1995
x(t), число работников	20	22	28	32	35	36

г) Динамика СОЭ у больного:

t, нед.	1	2	3	4	5	6	7	8	9
x(t), мм/г	5,6	5,8	6,0	6,5	6,3	6,8	7,0	7,5	7,2

Задача №2. Динамика поставки аспирина в республику показана в динамическом ряде:

t, год	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001
x(t),млн. упаковок	50	52	55	60	65	68	72

Задача №3. Реализация витамина С в городе N.

t, год	1996	1997	1998	1999	2000
x(t),млн. рублей	35	36	37	40	43

Определить средний уровень реализации витамина С за период с 1996 года по 2000год. Определить средний темп роста и средний темп прироста за указанный период.

Задача №4. Составить уравнение тренда и определить коэффициенты. Вычислить прогнозируемое значение для

а) Реализация витамина С по годам по аптекоуправлению (тыс. упаковок):