Основы высшей математики и математической статистики (стр. 16 )

Время между прибытиями М. С.П., в мин.	0-4	4-8	8-12	12-16	16-20	20-24	24-28	28-32	Всего
число М. С.П.	67	43	30	18	11	7	5	4	185

№3. Измерение веса xi девочек в возрасте 10 лет дало следующие результаты:

Вес девочек, в кг.	18-19	19-20	20-21	21-22	22-23	23-24	24-25	25-26	26-27	27-28	28-29	29-30	Всего
Число лиц	2	1	6	8	21	20	18	12	3	4	2	3	100

По данным результатам составить статистический ряд и построить гистограмму. Определить характеристики положения и разброса. Определить характеристики положения и разброса. Определить доверительный интервал для веса девочек указанного выше возраста. Коэффициент Стьюдента при надежности 0,95 принять равным 1,98.

№4. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью:

характер изменения которой показан на рисунке. Найти коэффициент А и определить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение, асимметрию и эксцесс величины Х.

f(x)

 

x

№5. Функция распределения непрерывной случайной величины Х задана выражением

Найти коэффициент а и плотность распределения f(x). Найти вероятность попадания величины Х на участке от 0,25 до 0,5.

№6. Случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью:

Найти коэффициент а. Построить график плотности распределения f(x) и найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Найти вероятность попадания величины Х на участке от 0 до .

№7. Случайная величина представлена следующим законом распределения:

x	2	5	7	10
P	0,1	0,2	0,4	0,6

Найти доверительный интервал случайной величины.

№8. Случайная величина задана законом распределения:

x	1	3	4	5	7
P	0,1	0,2	0,2	0,4	0,1

Найти доверительный интервал случайной величины.

№9. Нормальный закон распределения задан в форме уравнения:

Какова вероятность того, что случайная величина принимает значения

№10. В нормальном законе распределения а=2, Чему равно х, если вероятность того, что случайная величина принимает значения меньше х, равна

ЗАНЯТИЕ № 5.

ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

§ 5.1. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ И ИХ ВИДЫ.

Различные явления общественной жизни, изучаемые статистикой, нахо­дятся в непрерывном изменении и развитии. С течением времени от месяца к месяцу, от года к году - изменяется численность населения и его состав, объ­ем производимой продукции, уровень производительности труда и уровень жизни населения. К тому же правильно оценить действительность протекания физических, химических, физико-химических, биологических, технических и технологических процессов оказывается возможным путем анализа основных параметров и характеристик их изменения во времени. Некоторые аспекты этих проблем решаются путем анализа временных рядов, которые часто называются рядами динамики.

Исходным моментом характеристики динамики всякого явления является существующий в данное время уровень, т. е. фактор, оказывающий влия­ние на изучаемый признак.

Множество измерений некоторой величины, т. е. ее уровня, которое упо­рядочено во времени, называют временным или динамическим рядом. В ста­тистике временным или динамическим рядом называют ряд чисел, ха­рактеризующих изменение некоторого параметра в рассматриваемом явлении во времени.

В результате статистического наблюдения и подсчета итогов (уровня) получаются абсолютные показатели двух видов. Один из них характеризует состояние явления на тот или иной момент времени, т. е. наличие каких-либо единиц по состоянию на определенный момент времени. К таким показате­лям относится численность населения, число студентов в вузе, число инвали­дов в крае и т. д. Такие показатели называют моментными.

Другие показатели характеризуют итоги (уровень) какого-либо процесса за тот или иной период времени (сутки, месяц, год и т. д.). Такими показате­лями являются, например, число родившихся, число умерших, число зара­зившихся СПИДом и т. д. Так как эти показатели можно определить только за какой-то период (интервал) времени, поэтому их называют периодическими или интервальными. В соответствии с различным смыслом показателей в статистике различают два основных вида рядов динамики: моментальные и периодические или интервальные.

Так, в таблице 5.1 даны сведения о числе работников, занятых в системе аптекоуправления по республике N на 30 сентября каждого года.

Таблица 5.1.

Динамика числа работников, занятых в системе аптекоуправления по республике N на 30 сентября каждого года.

t, год	1988	1989	1990	1992	1993	1994	1995
Х(t),о	20	20	22	28	32	35	36

Сведения о численности работающих имеют смысл только как данные на определенный момент времени (критический момент), которыми, как прави­ло, является день представления сведений.

Таким образом, временной ряд, представленный в таблице 5.1- момен­тальный.

В таблице 5.2. показана динамика потребления реланиума в клиниках го­рода N.

Таблица 5.2.

Динамика потребления реланиума в клиниках города N.

t, год	1989	1990	1991	1992	1993	1994	1995
Х(t),тыс. ампул	37	40	44	46	48	50	53

Данные, представленные в таблице 5.2., называются интервальным или периодическим рядом.

По характеру проявления временные ряды делят на непрерывные и дис­кретные.

Непрерывным называют временной ряд, значение которого определено в любой произвольный момент времени. К непрерывным временным рядам относятся, например, запись электрокардиограммы; кривая атмосферного давления, вычерчиваемая барографом; изменение скорости химической реак­ции в технологическом процессе и т. д.

К дискретным рядам относятся моментальные и интервальные ряды. Дискретные временные ряды легче подвергаются статистической обработке, поэтому непрерывные временные ряды обычно преобразуют в дискретные.

Временной ряд является случайным, если значения, которые он будет принимать, могут быть описаны с помощью плотности распределения веро­ятностей. Все рассмотренные ранее примеры относятся к случайным времен­ным рядам.

Временной ряд называется детерминированным, если его значения в будущие моменты времени могут быть точно определены по известной функциональной зависимости. В чистом виде детерминированный временной ряд встречается очень редко. Обычно временной ряд содержит как детерми­нированную, так и случайную составляющие и представляется в виде сле­дующего выражения:

где x(t) - значение временного ряда в момент времени t; (t) - детер­минированная составляющая - основная тенденция изменения; - слу­чайная составляющая.

При анализе дискретных временных рядов, речь идет о значениях, кото­рые получены в определенные равноотстоящие промежутки времени:

Для описания временного ряда могут использоваться статистические ха­рактеристики положения и разброса: математическое ожидание, дисперсия и т. д. Эти характеристики зависят от времени, поэтому их надо обозначать как функции времени: M[x(t)] - математическое ожидание, D[x(t)] = M[x(t)-M(x(t))]2 - дисперсия временного ряда.

Если свойства временного ряда не изменяются во времени, т. е. математи­ческое ожидание, дисперсия и другие характеристики ряда остаются посто­янными, то такой ряд называется стационарным.

Поскольку характеристики стационарного ряда не зависят от времени, поэтому их характеристики можно находить путем усреднения по времени.

Математическое ожидание, как характеристику временного ряда, можно определять как среднее арифметическое значение временного ряда:

Дисперсия оценивается выражением:

Вычисление этих характеристик обычно является первым этапом анализа временного ряда.

При анализе временных рядов обычно возникают следующие задачи:

1 Определение основной тенденции развития ряда - тренд.

2 Прогнозирование (экстраполяция) значений ряда - вычисление воз­можных его значений в будущие моменты времени.

3  Интерполяция - вычисление неизвестных значений временного ряда в
промежуточные моменты времени между соседними известными значениями.

4  Выявление связей между значениями одного или нескольких временных рядов.

5  Выявление и анализ периодических колебаний.

§5.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИКИ КАК ЕДИНИЦЫ АБСОЛЮТНОГО И ОТНОСИТЕЛЬНОГО ИЗМЕРЕНИЯ.

Первая задача изучения динамики процесса - сбор данных об уровнях за разные периоды. Исходя из них, можно сравнивать уровни двух периодов или производить сравнение всех уровней динамического ряда.

Характеристика развития процесса основана на определении абсолютно­го и относительного изменения уровней динамического ряда по сравнению с другими уровнями. При постановке статистической задачи определяют, нуж­но ли характеризовать и абсолютные и относительные изменения или же только одно из них.

Абсолютный прирост. Наиболее простым показателем анализа динами­ки является абсолютный прирост уровня. Абсолютный прирост показыва­ет, насколько единиц увеличился или уменьшился уровень, по сравне­нию с базисным, за тот или иной период времени.

При этом сравниваемый уровень называют текущим, а тот уровень, с ко­торым производится сравнение, базисным, так как он является базой сравне­ния. Обычно за базу сравнения принимают либо предыдущий, либо началь­ный (первый) уровень ряда динамики.

Если каждый уровень сравнивается с предыдущим, то полученные при этом показатели называются цепными, т. к. они представляют собой как бы отдельные звенья единой «цепи», связывающей между собой уровни ряда. Если же все уровни сравниваются с одним и тем же уровнем - базой сравне­ния, то полученные показатели называются базисными. В нашей стране в качестве базы сравнения экономических показателей часто принимали уро­вень 1913 г. - последнего «мирного» дореволюционного года и уровень 1940 г. - последнего довоенного года.

Абсолютный прирост равен разности между сравниваемым и базисным уровнями и выражается в тех же единицах, в которых измерены уровни ряда динамики:

(5.1)

где - абсолютный прирост, - сравниваемый (текущий) уровень, - базисный уровень.

Если за базу сравнения в каждом случае принимается предыдущий уро­вень, то формула получающихся при этом цепных абсолютных приростов будет иметь вид:

(5.2)

где - сравниваемый (текущий) уровень, - предыдущий (базисный) уровень.

Если уровень уменьшается по сравнению с базисным, то абсолютный прирост будет отрицательным, характеризуя размер абсолютной убыли, абсо­лютного падения и сокращения.

Вычисленные цепные и базисные абсолютные приросты по временному ряду, показанному в таблице 5.2, представлены в таблице 5.3.

Таблица 5.3.

Абсолютный прирост потребления реланиума в клиниках города N.

t, годы	Х(t), тыс. ампул	Абсолютный прирост
Цепочные приросты	Базисные приросты (1988г.- база)
1988	35	…	…
1989	37	2	2
1990	40	3	5
1991	44	4	9
1992	46	2	11
1993	48	2	13
1994	50	2	15
1995	53	3	18

Из указанной таблицы видно, что цепочный прирост с небольшими коле­баниями остается практически постоянным, в то время как базисный посто­янно от уровня к уровню повышается.