Основы высшей математики и математической статистики (стр. 2 )

 

G S Y

U

Рис. 2.1 Схема управляющей системы.

Объектом управления является организм человека или животного в целом или отельные его органы. Состояние объекта управления можно характеризовать совокупностью величин, обозначаемых через х1, х2,…хn, где, например, величина х1 характеризует артериальное давление, х2 – уровень сахара в крови и т. д. Из всей совокупности параметров хi наиболее существенные, по которым и ведется управление. Управляемые величины обозначим у1, у2,…, уn или одним символом Y. В соответствии с целью стоящей перед управляющей системой, задаются определенные значения управляемых величин (эталоны) с помощью управляющего устройства значения управляемых величин поддерживаются в интервале значений, близких к заданным значениям эталонов. Объект управления постоянно испытывает разнообразные внешние воздействия, часть из которых измеряется (g1, g2,… gn или G), другая часть – не поддается измерению. Не контролируемые воздействия ( s1, s2,…, sn или S) называют помехами. Для того, чтобы поддерживать состояние объекта на заданном уровне, управляющее устройство все время оказывает на объект управления воздействие u1, u2,…,un или U. Системы управления делятся на два вида:

- системы автоматического управления по отклонению;

- системы автоматического управления по возмущению.

В первых системах управляемые величины измеряются и сравниваются с эталонными значениями. Управляющая система вырабатывает необходимое управляющее воздействие, приводящее к ликвидации отклонений между управляемой величиной и эталонным значением. Это и есть замкнутая система с отрицательной обратной связью.

Во вторых системах измеряется внешнее воздействие G и в соответствии с его величиной вырабатывается необходимый управляющий сигнал. В рассматриваемом случае обратной связи нет –система разомкнута.

Многие жизненные процессы, необходимые для существования организма, протекают автоматически, например, механизм сужения и расширения зрачка человеческого глаза. Этот механизм выполняет ту же функцию, что и бленда в фотоаппарате, т. е. обеспечивает правильное освещение сетчатки глаза. Сетчатка должна быть достаточно освещена, чтобы глаз мог отчетливо видеть, но слишком сильное освещение может ее повредить и ослепить человека. Поэтому, как известно, зрачок автоматически сужается при ярком свете и расширяется в темном (рис. 2.2).

X сила света

Z

СРАВНИВАЮ-ЩИЙ ОРГАН (МОЗГ)

ИСПОЛНИТЕЛЬНОЕ УСТРОЙСТВО (НЕРВЫ, ГЛАЗНЫЕ МЫШЦЫ)

ЗРАЧОК, ХРУСТА-ЛИК

U

освещенность

 

Y

СВЕТОЧУВСТВИТЕЛЬНЫЕ КЛЕТКИ СЕТЧАТКИ

 

Рис.2.2

Падающий в глаз световой поток освещает сетчатку, при этом яркость освещения зависит от его интенсивности. В светочувствительных нервных клетках возникает при этом определенное раздражение, и соответствующее возбуждение передается в головной мозг. Измерительные органы в данном случае – светочувствительные клетки сетчатки, являются рецепторами. Головной мозг сравнивает степень возбуждения с нормальным значением, информация о котором хранится в нем, и при этом возбуждение оценивается как слишком слабое, нормальное или слишком сильное, затем мозг посылает приказ внутренним глазным мышцам, по которому глазные мышцы приоткрывают или сужают отверстие зрачка. Таким образом, управление головного мозга компенсирует воздействие, которое оказывает изменение интенсивности светового потока и доводит освещение сетчатки до нормального уровня.

Такие процессы, как например, терморегуляция тела человека, содержание сахара в крови, дыхание и сокращение также осуществляется автоматически.

2.3.Системный анализ.

Каждая система выполняет свои функции, которые существенно отличаются от свойств и функций ее элементов. Например, в органе может совершаться механическая работа или осуществляться газовый обмен со средой. На уровне клеточном осуществляется питание, биосинтез органических соединений, раздражимость, рост и размножение. На молекулярном уровне определяются химические и физические свойства вещества (кислот, оснований и т. д.) На атомном уровне осуществляется прием и отдача электрона, и, соответственно, процесс образования ионов. Таким образом, для любой системы свойственны законы ее поведения и присущие ей свойства.

Система: законы поведения, свойства

 

Вход Выходной параметр

 

Входной параметр Выход (следствие)

(причина)

Рис. 2.3.

Характерной особенностью любой системы является наличие у нее входа и выхода (рис. 2.3.). Естественно, что определенное изменение входной величины, выполняющей роль причины, влечет за собой вполне определенное изменение выходной величины, выполняющей роль следствия.

Зависимость выходной величины от входной называют законом поведения системы. В идеальном случае этот закон может быть выражен в виде математического уравнения, имеющего аналитическое решение, и в которое входит некоторое число параметром, характеризующих определенные свойства системы. В системном анализе можно выделить следующие четыре типа задач.

1.Прямая задача. В этой задаче известны входные величины (воздействие, возмущение), закон поведения и свойства системы –требуется определить выходную величину (эффект, реакцию). В данном случае задача соответствует случаю, когда по заданному значению аргумента определяется значение функции по известному выражению.

2. Обратная задача. В обратной задаче заданы законы поведения системы и выходная величина требуется определить входную величину (причину - стимул, воздействие). Данная задача является обратной по отношению к первой. Задачи этого типа являются диагностическими и с которыми врач постоянно встречается в своей практической деятельности.

3.Уточняющая задача. Характерной особенностью данного типа задач является то, что в этом случае известны входные и выходные величины системы, а так же общий вид закона ее поведения –требуется определить значения числовых постоянных, определяющих ее свойства. Такого характера задачи возникают у врача при интерпретации результатов функционального исследования.

4.Задача индукции или «черного ящика». В задачах этого типа, как правило, известны выходные и входные величины – требуется определить закон поведения и основные параметры системы. Эти задачи являются наиболее трудными из всех перечисленных выше. В этом случае для определения закона поведения системы ее необходимо полностью изолировать от окружающей среды, подать на вход определенное воздействие и наблюдать выходную реакцию. Сначала появляется запись эмпирических данных, в которых могут содержаться постоянные, не имеющие особого теоретического или обобщающего значения. В конечном итоге в результате осмысления устанавливается закон, базирующийся на определенных теоретических допущениях. Преимущество закона – его общность. С его помощью можно предсказать реакцию системы. Одной из наиболее сложных проблем применительно к биосистемам является их изоляция. Не всегда удается управлять всеми входами систем, устанавливать причину реакции, а тем более закон поведения и параметры системы. Поэтому в большинстве случаев биологические законы оказываются статистическими.

Системный анализ, представляющий собой совокупность методологических средств, используемых для подготовки и обоснования решений по сложным проблемам, опирается на системный подход, а так же на ряд математических дисциплин и современных методов управления. Основной процедурой при этом остается построение обобщенной модели, отображающей взаимосвязь реальной системы.

ЛЕКЦИЯ № 3

МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА

ПРИЧИННО-СЛЕДСТВЕННЫХ СВЯЗЕЙ.

1.  ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ МЕТОД.

2.  МЕТОД РЕГРЕССИИ.

3.  МЕТОД КОРРЕЛЯЦИИ.

4.  АНАЛИЗ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЭЛАСТИЧНОСТИ.

Для того чтобы оценить силу связей между причиной и следствием необходимо провести количественный анализ. Численно связь между причинной и следствием можно оценить, используя элементарный метод, метод регрессии, метод корреляции или при помощи показателей эластичности.

Рассмотрим каждый из указанных методов.

Элементарный метод.

Элементарный метод дает приближенное, глазомерное представление о связи, только общую ориентацию. Для анализа необходимо использовать методы измерения связи.

Чтобы получить первое представление о связи, проводят параллельное сравнивание двух или нескольких рядов.

Временным рядом называют множество результатов наблюдений изучаемого процесса, проводимых последовательно во времени. Выделим два таких ряда, которые дают количественную характеристику потребления реланиума и позволяют сделать некоторые количественные и качественные выводы.

1.Динамика потребления реланиума в клинике в период с 1981 года по 1985 год.

t, год	1981	1982	1983	1984	1985
Х(t),тыс. ампул	15	14,8	14,9	15,1	14,95

2.Динамика потребления реланиума в клинике в период с 1991 г. о 1995 г.

t, год	1991	1992	1993	1994	1995
Х(t),тыс. ампул	21	30	42	50	58

Цель параллельного сравнения рядов – определить направление связи и получить представление о форме связи и о ее нарушениях, если они имеют место. Параллельное сравнение не будет наглядным, если ряды слишком длинные. В таких случаях целесообразно сгруппировать исходные данные. Группировка занимает центральное место в статистическом исследовании. С помощью метода группировок отражаются объективно существующие виды и формы и другие стороны изучаемых явлений, множество отдельных данных можно сделать более наглядными.

Благодаря группировке ряды уплотняются, и связь проявляется сильнее. Таким образом, сравнение сгруппированных рядов – это более высокий этап элементарного метода.

Метод регрессии

Регрессивный метод – это метод измерения связи между одной или несколькими причинами и следствием. Регрессивный анализ часто ограничивается простой связью между одной причиной и одним следствием. Связь можно представить и комплексно при помощи множественной регрессии, как связь между следствием и двумя или многими причинами.

Регрессивный анализ включает следующие этапы:

1.Определение типа функции.

2.Определение и проверка коэффициентов регрессии.

3.Расчет значений функции для отдельных значений аргумента.

4.Исследование рассеяния по отклонениям расчетных значений от эмпирических данных.

Решающим этапом регрессивного анализа является определение типа функции, т. к. от этого зависит, правильно ли алгебраическое уравнение отражает сущность связи между явлениями. Для правильного определения типа функции необходимо из эмпирических данных получить ответ на следующие вопросы: каково направление связи; изменяется ли направление связи в исследуемой совокупности; имеет связь линейный характер; стремится ли связь к точке насыщения, т. е. к такой точке, где величина (у), больше не изменяется в зависимости от изменения причины (х). Особенно полное представление о связи дают графические изображения, которые позволяют установить форму и направление связи.

Метод наименьших квадратов. Параметры уравнения регрессии по эмпирическим данным определяют методом минимализации суммы квадратов отклонений (ошибок) Гаусса. Этот метод позволяет выбрать суммы квадратов рассматриваемого типа ту функцию, которая с полученными при его помощи параметрами подходит лучше всего для описания рассматриваемой регрессионной зависимости и согласования ее результатов с опытными данными.

Отклонения, о которых идет речь – это разности между эмпирическими (уi) и расчетными (теоретическими) величинами ( Yi). Нужно так определить параметры функции Y= f(x), чтобы была минимальной. То есть ставится вопрос: сумма квадратов отклонений должна быть минимальной

(3.4)

или

(3.5)

Это условие получило название метода наименьших квадратов (МНК).

При определении неизвестных параметров уравнения регрессии МНК необходимо выполнить следующие операции:

1.  Вместо функции f(x) взять избранный тип функции ( уравнение регрессии).

2.  Уравнение регрессии продифференцировать в частных производных по переменным a, b, c и т. д. и приравнять их к нулю. Для доказательства, что имеется минимум, можно найти вторую производную, которая должна быть больше нуля, что и является подтверждением того, что минимум существует.

3.  Первые производные, приравненные к нулю, необходимо преобразовать в уравнения, которые называют нормальными и которые применяются для определения параметров (коэффициентов) регрессии.

4.  Из системы нормальных уравнений параметры (коэффициенты) уравнения регрессии определяются методом подстановки или методом детерминантов (определителей).

5.  Параметры всех рациональных функций определяются выше указанным образом. В функциях, где все параметры связаны как множители (например, в показательной функции), вместо исходных величин подставляют их логарифмы, что позволяет свести функцию к линейной.

Формулы для вычисления параметров уравнения простой линейной регрессии методом наименьших квадратов выводят следующим образом.

Используя уравнение линейной регрессии

Y= f(x)=a +bx

находим сумму квадрата разности

Дифференцируем последнее выражение по a и b и первые частные производные приравниванием к нулю:

, (3.6)

(3.7)

Отсюда следует, что нормальные уравнения можно представить в виде:

(3.8)

(3.9)

Из уравнения (3.8) находим, что

a= (3.10)

с использованием уравнений (3.9) и (3.10) находим:

b= (3.11)

где - среднее значение переменной х,

- среднее значение переменной у.

По уравнениям (2.10) и (2.11) определяются параметры (коэффициенты) уравнения регрессии, при этом используются следующие данные: , , , , , которые являются результатом статистических исследований и для которых составляется таблица, расположенная ниже, для некоторой причины х и следствия у, подчиняющихся линейной регрессии.

6,300	100	630,0	10000	6,366667	-0,666670	0,004444
6,250	120	750,0	14400	6,277976	-0,027976	0,000793
6,350	140	889,0	19600	6,189286	-0,160740	0,025829
6,150	160	984,0	25600	6,100595	-0,049405	0,002441
6,000	180	1080,0	32400	6,011905	-0,011905	0,000142
5,750	200	1150,0	40000	5,923214	-0,173214	0,030003
5,850	220	1287,0	48400	5,834524	-0,015476	0,000239
5,800	240	1392,0	57600	5,745833	-0,054167	0,000934
	48,5000	1360	8162,000	248,000	48,450000	0,000000	0,066815