Основы высшей математики и математической статистики (стр. 5 )

(8)

С другой стороны, из равенства (8) следует, что

или (9)

Левые части равенства (8) и (9) равны между собой, следовательно, должны быть равны и правые части, т. е.

(10)

где к - угловой коэффициент касательной AM к графику функции у = f(x) в точке А(х, у) .

Итак, производная функции у = f(x) при данном значении аргумента х равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в точке, абсцисса которой равна х, т. е. можно сказать, что геометрически производная выражает наклон касательной в данной точке.

§ 2.4 ПРОИЗВОДНЫЕ ВТОРОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ.

Производная у'х = f(x) от функции у = f(x) тоже является функци­ей от х, следовательно, ее можно дифференцировать, т. е. найти производ­ную от производной.

Производная от производной называется производной второго порядка, или просто второй производной, и обозначается символом у"хх или f"(x).

Следовательно, у"х = (у'х )'х.

Так как вторая производная в свою очередь есть функция от х, то ее то­же можно дифференцировать. Получается третья производная: и т. д.

Пример: дана функция у = sinax. Найти третью производную. Решение: первая производная у'х = acos ax,

вторая производная у"xx = (a cos ах)' = -a2 sin ax,

третья производная

Мы знаем, что если в прямолинейном движении пройденный путь s в за­висимости от времени t выражается уравнением s = f(t) , то скорость этого движения в данный момент времени определяется как производная от пути по времени, т. е. .

Возьмем производную от скорости по времени t, следуя об­щему правилу дифференцирования.

1) - мы нашли выражение скорости движения в мо­мент t + t;

2) - очевидно, второй этап, выражает скорости движения за время от момента t до момента ;

3) - третий этап выражает изменение скорости движения за единицу времени в предположении, что в промежутке скорость изменялась равномерно, т. е. среднее ускорение за промежуток времени от момента t до момента Обозначив среднее ускорение через , получим ;

4) .

Пределом среднего ускорения за время от момента t до момента t

при , очевидно, является ускорение в момент времени t :

.

Согласно определению производной можно утверждать, что

Из последнего выражения следует, что ускорение в данный момент вре­мени равно второй производной от пути по времени. В этом и заключается механический или физический смысл второй производной.

§ 2.5 ПРАВИЛО НАХОЖДЕНИЯ МАКСИМУМА И МИНИМУМА ФУНКЦИИ.

Рассуждения, которые здесь не проводятся, приводят к следующим при­знакам существования максимума и минимума функции.

1.  Функция y =f(x) при х = а имеет максимум, если при этом значе­нии аргумента первая производная равна нулю, а вторая производная от­рицательна, т. е.

2.  Функция у = f(x) при x=c имеет минимум, если при этом значении

аргумента первая производная равна нулю, а вторая производная поло­жительна, т. е.

При исследовании функции на экстремум необходимо выполнять следующие этапы:

1)найти первую производную у'х = f'(x) данной функции;

2)приравнять первую производную к нулю [f'(х) =0] и найти критиче­ские значения аргумента, т. е. те его значения, при которых данная
функция может иметь максимум и минимум;

3)найти вторую производную . Если при данном критическом зна­чении аргумента вторая производная оказывается отрицательной, то при
этом значении аргумента данная функция имеет максимум. Если при
критическом значении аргумента вторая производная положительна, то
при этом значении аргумента данная функция имеет минимум. Если же
при данном значении аргумента вторая производная обращается в нуль
или в бесконечность, то исследуется значение производной вокруг окре­стности критической точки x = xо. Если при переходе слева направо че­рез эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при
x = x0 функция имеет максимум. Если же при переходе через точку x0 слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

Таким образом, если

, то в точке x0 функция имеет максимум.

, то в точке х0 функция имеет минимум.

Точка кривой, отделяющая участок выпуклости от участка вогнутости, называется точкой перегиба.

Правило нахождения точки перегиба кривой, как показывает анализ, сво­дится к анализу второй производной в окрестности критической точки х = х0. Если при переходе аргумента через значение х = х0 вторая произ­водная меняет знак, т. е. если f"(x0 - h) > 0 и или и , то при х = х0 график функции у = f(x) имеет точку перегиба.

Пример: исследовать на максимум и минимум функцию у = 1-х4.

Решение:

1)находим критические точки:

,

-4х3=0,

x=0

2)находим вторую производную и определяем знак второй производ­ной при х = 0 :

,

Следовательно, выяснить характер критической точки с помощью знака второй производной в данном случае нельзя.

3)исследуем характер изменения первой производной в окрестности критической точки:

Следовательно, при х=0 функция имеет максимум, именно . График рассмотренной функции изображен на рис. 2.2

y

0 x

Рис.2.2

§ 2.6 ПОСТРОЕНИЙ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

Способ построения графиков по точкам имеет ряд существенных не­достатков, из которых укажем следующие:

1)чтобы получить график, по которому можно судить о ходе изменения
функции в промежутке ее существования, надо вычислить координаты
большого числа точек;

2)невозможно точно выявить характерные особенности графика функции: точки экстремума, точки перегиба и направление выпуклости в любом малом промежутке.

Изучив ход изменения функции с помощью первой и второй производных, мы имеем возможность строить графики функций более совершен­ным способом и значительно точнее, пользуясь результатами исследования на максимум и минимум и находя точки перегиба. Теперь подведем итоги и укажем план, которого следует придерживаться при построении графика дан­ной функции у = f(x) .

1)Определить промежуток существования функции.

2)Найти те значения аргумента, при которых данная функция имеет экстремум, и, вычислив соответствующие значения функции, построить
эти точки и небольшие части графика вблизи этих точек.

3)Найти координаты точек перегиба, если они имеются, и построить их.

4)Определить, если это возможно, и построить точки пересечения гра­фика с осями координат.

5)Если функция существует в любом промежутке (—∞,+∞), найти и .

6)Все отмеченные элементы графика соединить плавной кривой и про­должить ее, учитывая ход изменения у при х∞ и х∞.

Для большей точности полезно в «сомнительных местах» построить отдельные точки, вычислив их координаты, пользуясь уравнением кривой.

Пример: построить график функции у =

Решение:

эта функция существует в любом промежутке;

исследуем ее на максимум и минимум:
1-й этап у'х = х2 -2х-3

2-й этап х2 -2х-3 = 0

х1=-1

х2=3

3-й этап

4-й этап

Следовательно, при х=-1 данная функция имеет максимум. А при х=3-минимум (табл. №1)

ymax=

ymin=

Таблица №1

х			Заключение	f(x)
-1	0	-	Максимум
3	0	+	Минимум

Строим точки (-1,1 ) и (3,-9) и небольшие части графика вблизи этих точек, учитывая, что точка максимума находится на участке выпуклости, а точка минимума - на участке вогнутости (рис. 2.3 а).

3) находим точку перегиба, решив уравнение у"(х) = 0 . Получаем:

2х-2=0

х=1

ут. пер.=

На рисунке эта точка А(1,-3 отмечена маленьким кружком.

 

y у

а) б)

(-1;1) (-1,1)

 

х А х

 

(3;-9) (3,-9)

Рис.2.3

4) находим точки пересечения графика с осью абсцисс, решив совместно уравнения:

х=0

Получаем:

(на рисунке эти точки отмечены крестиками).

5) находим пределы:

6) Все отмеченные элементы графика соединяем плавной кривой и продолжаем ее влево от точки и вправо от точки , учитывая, что

(см. рис. 2.3 б).

УПРАЖНЕНИЯ.

Найти производные указанных функций.

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5.

10. 13.

11. 14.

12. 15.

Найти производные второго порядка от указанных функций.

1. 7.

2. 8.

3. 9.

4. 10.

5. 11.

6. 12.

Определить наибольшее и наименьшее значения следующих функций и построить их графики.

1. на отрезке [0,2]

2. на отрезке [-3,3]

3. на отрезке [-]

4. на отрезке [l, e]

5. в интервале (- ∞, +∞)

6. на отрезке [0,3]

ЗАНЯТИЕ №3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ.

§3.1 ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ КАК ГЛАВНАЯ ЧАСТЬ ПРИРАЩЕНИЯ ФУНКЦИИ.

Пусть нам дана некоторая функция у = f(x). Производная у'х = f'(x) этой функции при данном значении x: есть предел отношения при , т. е.

.

Нам известно, что разность между переменной величиной (в данном случае такой переменной величиной является ) и ее пределом – величина бесконечно малая. Следовательно,

или

где - бесконечно малая величина при .

Из последнего равенства находим, , или

(1)

Это равенство показывает, что приращение функции составляется из двух слагаемых: и . Первое из этих слагаемых при любом х ,при котором , - бесконечно малая величина одинакового порядка с , так как

Второе слагаемое - бесконечно малая величина высшего порядка малости, чем х, потому что

Это означает, что в равенстве (1) при второе слагаемое стремиться к нулю "гораздо быстрее", чем первое. Поэтому первое слагаемое принято называть главной частью приращения функции.

Главная часть приращения функции у = f(x) иначе называется дифференциалом этой функции и обозначается символом dy (читается "дэ игрек"):

Следовательно, дифференциал функции равен произведению производ­ной этой функции на приращение аргумента.

Если в формуле принять у = х, получим

dy = x'xdx = x'x • х, или

dx = (3)

Это равенство показывает, что дифференциал dx аргумента есть его приращение .

Заменив в формуле (2) равным ему dx, получаем

dy = y'xdx, или

dy = f'(x)dx (4)

Эта формула читается так: дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента.

Следует знать и помнить, что дифференциал аргумента, как и его при­ращение, не зависит от х.

Разделив обе части равенства (4) на dx, получаем

, или

(5)

Из формулы (4) видно, что производная (у'х ) функции у = f(x) есть

отношение дифференциала dy этой функции к дифференциалу dx аргумен­та х. Это отношение читается так: «дэ игрек по дэ икс».

Пользуясь формулой (4) и основными формулами для нахождения произ­водной, можно легко вывести формулу для нахождения дифференциала лю­бой функции.

Пусть нам дано у = u, где и= f(x),

dy = ,

а так как , то

(6)

Рассмотрим еще функцию где

Получим

или

(7)

Пример 1: найти дифференциал функции

Решение: по формуле (4) находим

Пример 2: найти дифференциал функции

Решение:

§ 3.2 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ.

Положим, что кривая, изображенная на рисунке 3.1, является графиком функции у = f(x) . Возьмем на этой кривой точку М(х, у) и опустим из нее перпендикуляр МК на ось абсцисс. Получим: ОК = х, КМ = у.

Придав абсциссе х приращение KP = x = dx и восстановив к оси абс­цисс перпендикуляр в точке Р , получим

Допустим, что касательная МТ к этой кривой в точке М(х, у) образует с положительным направлением оси абсцисс угол .

y

 

M1

T

dy

M(x, y) P1

0 K P x

Рис. 3.1

Нам известно, что угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = f(х) в точке М(х, у), равен производной этой функции при данном значении х, т. е.

Проведем прямую МР1 параллельно оси абсцисс. Тогда отрезок Р1М1 будет приращением у ординаты графика функции у = f(х), а отрезок Р1Т - приращением ординаты касательной МТ, когда абсцисса х получает приращение х.

Из прямоугольного треугольника МР1Т получим Р1Т – MP1tg .

Это равенство можно переписать в другом виде, приняв во внимание, что МР1 =KP = dx,tg = k = f'(x) = y'x.

Получим PlT = y'xdx. Так как y'xdx = dy. Следовательно, PlT = y'xdx = dy.

Это равенство показывает, что дифференциал функции у = f(x) геомет­рически представляет собой приращение ординаты касательной к графику этой функции в точке с абсциссой х при переходе от точки касания в точку с абсциссой x + dx.

Из рис.3.1 видно, что PlMl=PlT + ТМ1, или y = dy + ТМ1.

Сопоставление этого равенства с равенством (1) из § 3.1 приводит к за­ключению, что

ТМ1 =

т. е. отрезок ТМ1 изображает ту часть приращения функции, которая при является бесконечно малой высшего порядка малости по сравнению с х.

В данном случае y>dy, так как y-dy = x =ТМ1 > 0.

§ 3.3 ДИФФЕРЕНЦИАЛ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

Дифференциал функции у = f(x) является, как и сама функция, функци­ей от x. Поэтому можно взять дифференциал дифференциала. Дифференци­ал дифференциала функции у = f(x) называется дифференциалом второго порядка и обозначается символом d2y (читается «дэ два игрек»).

Зададимся целью вывести формулу, выражающую дифференциал второго порядка. Нам известно, что

dy=y'xdx,