Математические методы в экологической геологии (стр. 15 )

;

Получено близкое к 1 значение коэффициента корреляции, что свидетельствует о высокой вероятности линейной связи между содержаниями элементов X и Y в рудах. Следует помнить, что при расчетах парного коэффициента корреляции обе переменные X и Y равнозначны, поэтому:

5.3 Корреляционное отношение

Показателем силы нелинейной связи является корреляционное отношение (h). Оно определяется отношением меры рассеяния условных средних зависимой переменной к мере рассеяния всех значений той же переменной:

, (5.2)

где уi – выборочные значения зависимой переменной;

- условные средние, соответствующие повторяющимся

значениям xi.

Для вычисления корреляционного отношения необходимо сгруппировать исходные данные по значениям независимой переменной (xi) и применить формулу (5.2).

Значение h изменяется от 0 до 1. Равенство является необходимым и достаточным условием отсутствия корреляционной зависимости. Если h=1, то . Следовательно, корреляционная связь переходит в функциональную, когда каждому конкретному значению xi соответствует одно единственное значение yi. Равенство выполняется, если все групповые средние равны:, т. е. лежат на одной линии. В этом случае связь отсутствует: аргумент (xi) изменяется, а функция (yi) не реагирует.

Для расчетов удобнее пользоваться следующими формулами вычисления квадратичных отклонений:

Они следуют из четвертого свойства теоретической дисперсии (см. раздел 1.2):

Расчет корреляционного отношения по данным предыдущего примера показан в таблице 5.3.

Таблица 5.3

xi.	Сгруппированные содержания уi	Syi	ni			ni
ni=1	ni=2	ni=3
0,1	1,1			1,1	1	1,1	1,21	1,21
0,2	1,5	1,9		3,4	2	1,7	2,89	5,78
0,3	2,2	2,4	2,6	7,2	3	2,4	5,76	17,28
0,4	2,3	2,6	2,9	7,8	3	2,6	6,76	20,28
0,5	3,9	4,2	4,2	12,3	3	4,1	16,81	50,43
0,6	4,4	4,8		9,2	2	4,6	21,16	42,32
0,7	5,5			5,5	1	5,5	30,25	30,25
Σ								167,55

На основе полученной суммы имеем:

Значение s(y)=1.31 вычислено в предыдущем примере.

.

Доказано, что всегда . Равенство имеет место только в случае, когда зависимость между X и Y линейная, то есть это равенство может служить простейшим критерием линейности зависимости X и Y. Так как полученное в задаче значение равно ранее вычисленному значению r и близко к единице, то можно утверждать, что связь между содержаниями элементов X и Y в изучаемых рудах тесная, линейная.

5.4 Оценка значимости корреляционной связи

На практике значения числовых показателей корреляционной связи всегда отличаются от 0 и 1, поэтому необходимо оценивать достоверность или, как принято говорить при статистических исследованиях, значимость связи. Под этим подразумевается проверка статистической гипотезы о наличии и характере корреляционной связи.

Более строгая оценка линейности связи осуществляется по t - критерию:

, (5.3)

где - мера криволинейности: - ошибка k, вычисляемая по формуле: .

Если , связь может быть признана линейной. Мерой рассеяния r и h служат их основные ошибки, вычисляемые по формулам

(5.4)

Значимость коэффициента корреляции определяется критерием:

(5.5)

Если вычисленное значение t - критерия больше табличного (прил. 2, табл. 5) при f = N - 2, то коэффициент корреляции значимый. Аналогично определяется значимость корреляционного отношения.

Пример. На основании обработки данных опробования получено значение коэффициента корреляции, равное 0,80. Количество проб 55. Определить, является ли полученный коэффициент значимым.

Ошибка . Табличное значение t - критерия Стьюдента при уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы f ==53 равно 2. Полученная величина t=8 больше табличной, следовательно, коэффициент корреляции является значимым.

Значимость коэффициента корреляции может быть проверена и по таблице критических значений коэффициента корреляции (rкр) для различных объемов выборки (прил. 2, табл. 12). При N=55, rкр = 0,26. Полученное значение r = 0,80 больше табличного, что также подтверждает значимость вычисленного коэффициента.

Основные ошибки коэффициента корреляции и корреляционного отношения (см. формулу 5.4) позволяют определить доверительные интервалы для соответствующих параметров r и N ( в случае нормальности распределений):

;

.

Пример. Определить доверительный интервал коэффициента корреляции, если r = 0,80 и , приняв уровень значимости =0,05. Имеем:

или .

Для оценки достоверности коэффициента корреляции, существенности различия двух его значений, а также для построения доверительного интервала более надежно пользоваться критерием Фишера. Для вычисленного значения r (приложение, табл. 6) определяют величину z-критерия:

, (5.6)

где z – случайная величина, распределение которой близко к нормальному. Ошибка z оценивается по формуле

, (5.7)

то есть зависит только от объема выборки.

Критерий надежности: . При , r значимо.

Доверительный интервал для коэффициента корреляции с помощью величины z находят следующим образом. По z и определяют значения, на основе которых по табл. 6 приложения определяют соответствующие им значения r1 и r2 являющиеся доверительными границами для , то есть .