Математические методы в экологической геологии (стр. 6 )

Критерий χ2, предложенный Пирсоном, определяют, по формуле:

(3.3)

где ni - эмпирическая частота; - теоретическая частота;

Если рассчитанное эмпирическое значение критерия χ2 меньше табличного значения χ2, (см. прил.) зависящего от принятого уровня значимости и числа степеней свободы f, то гипотеза о согласованности эмпирического и теоретического распределения не отвергается. Число степеней свободы определяется в зависимости от проверяемого теоретического закона. Для нормального закона f=K-3, где К - число интервалов группировки. Для применения критерия необходимо, чтобы количество данных в каждом классе было не менее 3-5.

и предложен λ - критерий. Единственным условием его применения является достаточная численность выборочных данных (несколько десятков). Критерий λ определяют по формуле:

(3.4)

где- наибольшее значение абсолютной разности между накопленными частотами эмпирического и теоретического распределений.

Теоретическое значение λ не зависит от объема выборки и числа степеней свободы. Поэтому оно имеет единственное значение в соответствии с выбранным уровнем значимости (α):

Если α = 0,05; то λ = 1,36; для α = 0,01; λ = 1,63.

Пример. Проверим согласованность выборочных данных предыдущего примера с нормальным законом по χ2- и λ - критериям, предварительно объединив два первые и два последние малочисленные класса группировки. Для критерия Пирсона (см. формулу 3.3) получим следующую таблицу:

Таблица 3.2

	xi	ni
менее 1,5	4	4	0	0
2,5	11	11	0	0
3,5	21	23	2	0,087
4,5	31	29	2	0,069
5,5	23	21	2	0,095
6,5	7	9	2	0,220
более 7,5	3	3	0	0
Σ	100	100		= 0,471

Число степеней свободы f = K – 3 = 7 – 3 = 4.

Табличное значение критерия χ2 (прил., табл.2) при уровне значимости α = 0,05 (4) = 9,488. Оно значительно превышает полученное эмпирическое значение, поэтому принимаем нулевую гипотезу о согласованности выборочных данных с нормальным теоретическим законом распределения.

Для проверки λ-критерия рассчитаем ниже следующую таблицу:

Таблица 3.3

xi	ni	Ni
менее 1,5	4	4	4	4	0
2,5	11	15	11	15	0
3,5	21	36	23	38	2
4,5	31	67	29	67	0
5,5	23	90	21	88	2
6,5	7	97	9	97	0
более 7,5	3	100	3	100	0

= 2.

= 0,2.

Для уровня значимости 0,05 = 1,36 > = 0,2.

Таким образом, по λ-критерию нулевая гипотеза о согласованности с нормальным законом распределения содержания элемента в гранитах также принимается.

3.2 Сравнение статистик двух выборочных совокупностей

Необходимость проведения такого исследования возникает в следующих случаях:

- в результате обработки данных по двум выборкам получены различные значения средних содержаний;

- рассчитанные дисперсии двух выборок имеют значительное отличие друг от друга;

- получено различие частот появления определенных значений одного и того же признака в двух выборках.

Эта ситуация требует обоснованного вывода о реальности различия статистик вследствие геологической неоднородности объекта, либо об их случайном характере. В каждом из этих случаев задача сводится к проверке гипотезы H0 об отсутствии различия сравниваемых статистик.

3.2.1 Сравнение выборочных средних

Заданы две выборки, объемом N1 и N2, для которых рассчитаны значения средних ; и дисперсий ; . Нулевая гипотеза заключается в том, что средние существенно не отличаются. Проверку проводят с помощью t-критерия Стьюдента:

(3.5)

По исходным данным рассчитывают эмпирическое значение критерия и сравнивают его с табличным при принятом уровне значимости (α = 0,05) и имеющемся числе степеней свободы: f = N1 + N2 - 2 (прил., табл. 3).

Иногда возникает задача сравнения выборочного среднего с какой-нибудь заданной постоянной величиной. Например, сравнить среднее содержание по разведываемому блоку рудного тела с минимально промышленным содержанием xmin. Критерий для проверки значимости их различия имеет вид:

(3.6)

где δx - ошибка определения среднего по блоку.

Аналогично можно решить вопрос об аномальности отдельного значения показателя в выборке.

3.2.2 Критерий разностного ряда

В практике полевых работ часто возникает необходимость вести обработку совокупностей с попарно связанными замерами (результаты основных и контрольных анализов; данные различных видов опробования одних и тех же выработок и т. п.). Задача состоит в установлении различия таких данных. Для ее решения рассматривают разности каждой пары связанных замеров:

xi1- xi2 = ∆i

Если систематической ошибки нет, то отклонения в большую и меньшую сторону одного замера по отношению к другому должны бать примерно одинаковы и, следовательно ∑∆i≈0.

Совокупность разностей замеров можно рассматривать как некоторый ряд, характеризующийся определенным средним значением () и дисперсией (S2∆). Нулевая гипотеза состоит в том, что =0. Для проверки нулевой гипотезы в данном случае служит критерий разностного ряда:

(3.7)

где - ошибка среднего.

Если полученное значение критерия не превышает табличного при принятом уровне значимости и числе степеней свободы f=N-1, то нулевая гипотеза принимается.

3.2.3 Сравнение выборочных дисперсий

В этом случае нулевая гипотеза выдвигается в следующем виде: дисперсии двух выборочных совокупностей и отличаются незначимо. Для сравнения значимости их различия используют F - критерий Фишера:

(3.8)

Вычисленное эмпирическое значение F-критерия сравнивают с табличным значением (прил. табл.4). Таблица имеет два входа: f1= N1 – 1; и f2 = N2 – 1.

где N1 - количество проб в выборке, имеющей большую дисперсию, N2 - объем второй выборки.

Если эмпирическое значение критерия превышает табличное, то нулевая гипотеза отвергается, и дисперсии считаются существенно различными.

Сравнение дисперсий имеет важное значение для решения вопросов однородности объекта. Если производится сравнение двух участков объекта для решения вопроса их геологического сходства, то вначале проводят сравнение дисперсий для соответствующих участкам выборок. И только в случае принятия нулевой гипотезы по дисперсиям производится их дальнейшее сравнение по средним.

3.2.4 Сравнение выборочных распределений

Большое значение при сравнении выборок имеет идентичность их эмпирических распределений. Если окажется, что различие между эмпирическими частотами несущественно, то можно считать их принадлежащими одной генеральной совокупности (геологическому объекту). Сравнение выборочных частот производится по описанным ранее λ- и χ2-критериям. Критерий λ вычисляется по формуле:

(3.9)

где N1 и N2 - объемы выборок;

Ni1, Ni2 - соответствующие накопленные частоты.

Критерий χ2, вычисляется по формуле:

(3.10)

N1, N2 - объемы выборок;

к- число интервалов группировки данных;

ni1, ni2 - число данных в i-ом интервале соответственно первой и второй выработок.

Полученное значение критерия χ2 сравнивается с табличным при выбранном уровне значимости и числе степеней свободы f = K - 1. Если вычисленное значение критерия не превышает табличное, то гипотеза о принадлежности выборок одной генеральной совокупности принимается.

3.3 Практические занятия

3.3.1 Решение типовых задач

Задача 1. Для данных задачи 1 раздела 2 о содержаниях элемента А в 45 пробах, определить ошибку среднего и оценить доверительный интервал среднего с 95% уровнем вероятности.

Решение: Находим ошибку среднего:

По числу проб и уровню значимости α=0,05 находим значение tα равно 2,01 (прил., табл.3). Определяем доверительный интервал среднего: 3-2,01*0,36≤≤3+2,01*0,36; 2,28≤≤3,72

На основе выборочных данных можно утверждать, что истинное значение элемента А в рудах не меньше 2,28 и не больше 3,72. Столь неточный результат обусловлен значительной неоднородностью руд по содержанию изучаемого элемента (коэффициент вариации 78%).

Задача 2. На основе выборочного распределения содержаний элемента в 45 пробах руд рассчитать теоретические частоты распределения Пуассона

Решение: Преобразуем исходный ряд (табл. 2.8, колонки 1,2) выборочного непрерывного распределения к распределению дискретного вида - распределению Пуассона:

(3.11)

где m- число появлений события 0, 1,2, ... n раз;