Математические методы в экологической геологии (стр. 2 )

3. D(X+Y+...Z)=D(X)+D(Y)+...+D(Z); т. е. дисперсия суммы нескольких случайных величин равна сумме их дисперсий.

4. D(X)=M(X2)-(M(X))2; т. е. дисперсия случайной величины Х равна разности математического ожидания квадрата этой величины и квадрата ее математического ожидания.

Большую роль в подборе закона распределения случайной величины играют показатели асимметрии (А) и эксцесса (Е).

; (1.15)

Для симметричных кривых распределения (см. рис.1.1) показатели асимметрии и эксцесса равны 0. Если распределение симметричное, то A = 0. Если кривая смещена влево от центра, то А > 0, если - вправо, то А < 0 (рис. 1.3).

Для кривой нормального закона распределения показатель эксцесса E=0. Если Е > 0, то кривая островершинная, если Е < 0, то кривая плосковершинная (рис. 1.4).

Рис. 1.3 Показатель асимметрии: Рис. 1.4 Показатель эксцесса:

1)равен нулю; 2)положительный; 1)равен нулю; 2)положительный

3) отрицательный. 3) отрицательный

Показатели асимметрии и эксцесса, характеризуя форму кривой распределения, называют морфометрическими.

1.3 Нормальный закон распределения.

Этот закон распределения случайной величины играет наиболее важную роль в теории вероятностей и математической статистике. Плотность распределения вероятности имеет вид:

(1.17)

Возникает это распределение в природе, когда на изменение случайной величины влияет множество различных независимых факторов, каждый из которых в отдельности не имеет преобладающего значения. Нормальное распределение характерно для содержаний основных окислов в интрузивных породах, значений плотности пород, ошибок измерения приборами геофизических показателей. Рассмотрим некоторые свойства нормального распределения (см. рис.1.1).

1. Параметр а характеризует математическое ожидание случайной величины и является центром распределения. Изменение математического ожидания не влияет на форму кривой, а только вызывает ее смещение вдоль оси 0Х.

2. Параметр s характеризует изменчивость случайной величины и является мерой растянутости кривой вдоль оси 0Х: чем больше s, тем кривая более растянута.

3. График нормальной кривой симметричен относительно прямой Х=а и означает, что одинаковые по абсолютной величине отклонения значений случайной величины от центра равновероятны.

4. По мере увеличения разности (х-а)® ¥ значение f(x) стремится к нулю, но никогда его не достигает. Теоретически возможны как угодно большие отклонения случайной величины от ее математического ожидания, однако появление их маловероятно. Правило « 3s » гласит, что вероятность отклонения случайной величины от ее математического ожидания на величину более 3s составляет всего 0,0027.

Графическое изображение ряда удобно наглядностью, но не дает возможности количественно характеризовать его, решить вопросы сходства и различия отдельных выборок и геологических объектов в целом.

Наиболее удобным и полным является аналитический способ задания и исследования случайной величины. В этом случае связь между значениями случайной величины и вероятностями этих значений задается в виде формулы ρ = f(x), называемой законом распределения случайной величины. Так, например, для случайной величины, распределенной нормальному закону (рис. 1), он задан следующей формулой:

(1.18)

Для логнормального закона (см. рис. 1.2):

(1.19)

где σ, a, lg σ, lg a - параметры распределений.

Наиболее важными параметрами распределения являются:

- математическое ожидание -(a; lg a) - центр распределения;

- дисперсия σ2 - мера изменчивости случайной величины.

1.4 Практические занятия

1.4.1 Решение типовых задач

Задача 1. Обозначим через А событие, состоящее в том, что на площади поисков обнаружены осадочные, через В - изверженные, через С - метаморфические породы. В процессе изучения четырех участков произошли события:

1) А*Ē*Ū; 2) А*В*Ū; 3)А*В*U; 4) Ā* Ē*Ū.

Дать геологическую интерпретацию этим событиям.

Решение: событие А*Ē*Ū означает, что состоялось событие А при одновременно несостоявшихся событиях Ē и Ū, т. е. в пределах участка встречены только осадочные породы; событие А*В*Ū заключается в том, что встречены осадочные и изверженные породы; А*В*U - на участке встречены все три разновидности пород; событие Ā* Ē*Ū состоит в том, что не встречена ни один из вышеперечисленных пород. Возможно, участок был покрыт льдом. Можно сделать также вывод, что события А, В, U не представляют полной совокупности возможных в данном эксперименте событий.

Задача 2. С помощью шлиховой съемки, который является одним из методов поиска полезных ископаемых, проводят изучение минералов рыхлых отложенийв трех шлихах. Обозначим через А событие, состоящее в том, что хотя бы в одном из трех отмытых шлихов сожержится зерно золота, а через событие В - все три шлиха не содержат золота. Что означают события: А+В; А*В?

Решение: При изучении трех шлихов возможны следующие результаты: все шлихи не содержат золота, что и означает событие В; один шлих содержат золото или два содержат золота или три шлиха содержат золото, все это означает событие А. Тогда событие А+В (А или В) представляет собой достоверное событие, так как в любом случае одно из них обязательно произойдет. Событие А*В означает одновременное наступление этих событий. Оно является невозможным событием, поскольку

означает одновременное присутствие и отсутствие золота.

Задача 3. Кристалл пирита, имеющий форму куба со штриховкой на гранях и длиной стороны 10 см, распилен на 1000 кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешены. Определить вероятности того, что кубик, извлеченный наугад, будет иметь : А) четыре грани со штриховкой; Б) три грани со штриховкой; В) две грани со штриховкой; Г) одну грань со штриховкой; Д) ни одной грани со штриховкой.

Решение: Число всех возможных случаев извлечения кубика равно 1000. Первоначальный куб имеет штриховку на всех шести гранях. Число возможных случаев с появлением кубика с четырьмя гранями со штриховкой равно 0, так как это невозможное событие. Максимальное число граней со штриховкой имеют кубики, расположенные в вершинах кристалла. Они будут иметь три грани со штриховкой. Число возможных случаев появления кубика со штриховкой на трех гранях равно 8, по числу вершин куба. Две грани со штриховкой имеют кубики, расположенные на ребрах исходного кристалла. На каждом ребре разместится 8 кубиков, а всего ребер 12. Поэтому их число равно 12*8=96. Число возможных кубиков, со штриховкой на одной грани расположены одной стороной на грани исходного кристалла. Их число на одной грани равно 64. Всего граней в кубе 6. Тогда общее число таких кубиков будет 64*6=384. Ни одной грани со штриховкой будут иметь все остальные кубики, расположенные внутри исходного кристалла.

Их число составит 512. В итоге имеем:

Р(А)=0/1000=0; Р(Б)=8/1000=0,008; Р(В)=96/1000=0,096;

Р(Г)=384/1000=0,384; Р(Д)=512:1000=0,512.

Учитывая, что никаких других кубиков в этом опыте появиться не может, можно считать совокупность этих результатов полным событием, поэтому его вероятность должна быть равна 1. Действительно, проверяем:

0,008+0,096+0,384+0,512=1

Задача 4. Студент с практики отправил на кафедру 4 образца: свежие вмещающие породы; околорудно измененные породы; оруденелые породы; руда. Образцы помещены на полку случайным образом. Найти вероятность того, что образцы оказались упорядоченными от свежих вмещающих пород до руды.

Решение: Вероятность того, что первым на полку помещен образец свежих вмещающих пород равна 1/4 (один из четырех возможных вариантов). Вероятность того, что из трех оставшихся образцов будет взят образец околорудно измененных пород вычисляется при условии, что первым уже помещен первый образец свежих вмещающих пород. Поэтому: Р=1/4*1/3. Рассуждая аналогичным образом, получаем вероятность тре-буемого расположения всех образцов: Р=1/4*1/3*1/2*1/1=0,04.

1.4.2 Задачи для самостоятельного решения.

1. Для изучения породы изготавливают шлиф, который просматривают под микроскопом в проходящем свете. Если обозначить через А событие, состоящее в том, что хотя бы один из четырех изготовленных шлифов содержит интересующий нас минерал, а через В - что количество шлифов с интересующими нас минералом не менее двух. Что означают противоположные события ?

2. Для подсечения предполагаемого рудного тела забуривают скважину. Обозначим через А событие, состоящее в том, что скважина подсечет рудное тело, а через В - не подсечет (рудного тела вообще нет). Какое событие к названным А и В надо добавить, чтобы получилась полная группа событий?

3. Вероятности обнаружения различных содержаний элемента А в изучаемых породах: до 1%- 0,08; от 1 до 2% - 0,11; от 2 до 3% - 0,16; от 3 до 4% - 0,30; от 4 до 5% - 0,35. Определить вероятность того, что при анализе образца таких пород содержание элемента А : а) не будет выше 3%; б)не окажется ниже 3%.

4. Сокращение пробы производят в несколько последовательных этапов дробления до определенной крупности кусков, перемешивания, сокращения. После каждого сокращения для дальнейшего дробления остается часть исследуемого материала. Событие Аi (i=1,2, ..., k) заключается в том, что в отобранной части материала содержание элемента больше, чем в исходном. Вероятность этого события 0,5. Определить вероятность того, что при всех сокращениях в отбираемом для дальнейшего сокращения материале будет происходить завышение содержаний. При этом следует считать, что завышение-занижение содержаний на каждом этапе сокращения представляет собой случайное независимое событие.

2. ВАРИАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

Перейдем непосредственно к применению математической статистики при обработке результатов измерений случайных величин в процессе экспериментов. Открывает ее группа методов одномерной статистики – вариационный анализ.

2.1 Постановка задачи и ее геологическое содержание

На практике объем значений эколого-геологического показателя всегда ограничен. Число наблюдений, по которому проводится обработка данных, называется объемом выборки. По одному и тому же объекту можно получить неограниченное количество выборок, которые могут отличаться числом измерений (N). Любая выборка должна удовлетворять требованиям:

- представительности, что означает типичность и правильное представление изучаемого объекта наблюдениями, включенными в выборку. Выполнение требования обеспечивается случайным отбором отдельных наблюдений в выборку;

- достаточности объема, чтобы с требуемой точностью для поставленной геологической задачи было найдено решение. Чем больший объем имеет выборка, тем точнее она описывает изучаемый геологический объект (генеральную совокупность).

Конечной целью вариационного анализа является получение всех статистических характеристик геологического объекта по выборочным данным с погрешностью, не превышающей допустимую для заданных условий.

2.2 Математические основы вариационного анализа

2.2.1 Выборочное распределение и его параметры

Выше было отмечено, что в связи с многофакторным воздействием на процесс формирования геологических объектов большинство их характеристик имеют сходство со случайной величиной. Они бывают двух типов - дискретные, принимающие лишь отдельные значения, и непрерывные, включающие любые значения в заданном интервале.

Для того, чтобы можно было изучать случайную величину методами вариационного анализа, необходимо ее задать. Теоретически это означает - определить вероятность принятия случайной величиной данного конкретного значения.

Существуют три способа задания случайной величины - табличный, графический и аналитический. При табличном способе задания для каждого имеющегося значения случайной величины указывается его вероятность. Для выборочных данных это означает, что необходимо для каждого значения указать его повторяемость в выборке, предварительно упорядочив данные по возрастанию и представив результаты в виде таблицы 2.1.

Таблица 2.1

Значения показателя	x1	x2	x3 . . .	xi. . .	x k..
Частота (повторяемость)	n1	n2	n3 . . .	ni. . .	nk.

Здесь N – объем выборки;

nk - повторяемость значения случайной величины, равного x k.

n1 + n2 … + nk = N.

Выборочные данные, представленные в таком виде, называются вариационным рядом. Для непрерывной случайной величины практически отсутствует повторяемость конкретных значений. В этом случае прибегают к определению частот в отдельных частичных интервалах, в сумме охватывающих весь диапазон изменения случайной непрерывной величины.

Порядок построения вариационного ряда для непрерывной случайной величины следующий:

1) расположить все данные в выборке в порядке возрастания:

x1(min), x2, xxN(max);

2) найти диапазон изменения исследуемого признака в выборке как разность между максимальным и минимальным значениями:

H = xmax - xmin;

3) разбить весь диапазон значений на частичные интервалы - h1, h2 … hk так, чтобы: h1 + h2 + . . . + hk = H.

Обычно ширина частичных интервалов принимается одинаковой, т. е. h1 = h2 = . . . = hk, а их число (к) - от 8 до 15 в зависимости от объема выборки: чем меньше объем, тем меньше должно быть число интервалов. Определение ширины частичного интервала выполняется по формуле Стерджесса:

(2.1)

где h - ширина частичного интервала; xmax, xmin - максимальное и минимальное значения признака в выборке; N - объем выборки;

4) выбрать границы частичных интервалов, исходя из удобства вычислений. При этом нижний интервал должен содержать минимальное значение признака, а последний - максимальное. Нижняя граница последующего интервала получается прибавлением ширины интервала (h) к нижней границе предыдущего;

5) для каждого значения в выборке определяют его принадлежность к одному из интервалов;

6) подсчитывают число значений в каждом частичном интервале. Эти числа заносятся в таблицу в качестве частот, а все значения показателя данного интервала (i) будут представлены серединой соответствующего частичного интервала (xi).

Очень часто вместо частот в таблицу вносят, значения частостей определяя их следующим образом:

(2.2)

где Wi - частостъ i-го частичного интервала;

ni -частота или число значении выборки, принадлежащих i-му частичному интервалу.

После разнесения данных по классам необходимо провести проверку совпадения суммы полученных по интервалам частот с объемом выборки, т. е. в случае правильного разнесения данных по классам должно выполняться равенство:

n1 + n2 … + ni + nk = N (2.3)

После построения вариационного ряда переходим к подбору подбора закона распределения. Получить представление о законе распределения по выборочным данным можно, построив графическое изображение вариационного ряда в виде полигона, гистограммы или кривой накопленных частот.

Для построения полигона необходимо по оси абсцисс отложить середины частичных интервалов, а по оси ординат - частоты (или частости). Отметить на координатной плоскости точки с соответствующими частичным интервалам абсциссой ординатой. Последовательно соединив эти точки ломаной кривой, получим полигон (рис. 2.1).

Рис. 2.1 Полигон частот

Гистограмма представляет собой последовательность примыкающих друг к другу прямоугольников, расположенных по оси абсцисс (рис. 2.2).

Рис. 2.2 Гистограмма вариационного ряда

Горизонтальная сторона каждого из прямоугольников является шириной частичного интервала, а вертикальная - частотой (или частостью) соответствующего частичного интервала. Построение кривой накопленных частот осуществляется последовательным соединением точек на координатной плоскости, имеющих абсциссы равные серединам частичных интервалов, а ординаты, рассчитанные суммированием частот всех предыдущих интервалов. Вариационный ряд накопленных частот представлен в таблице 2.2, а его графическое изображение на рисунке 2.3.

Таблица 2.2

Середины частичных интервалов (xi)	x1	x2	x3 . . .	...	xk
Накопленные частоты (Ni)	n1	n1+ n2	n1+ n2+ n3	...	n1+ n2+…+ nk