Математические методы в экологической геологии (стр. 20 )

· достаточная воспроизводимость, что означает возможность повторных измерений значений показатель с допустимой погрешностью отклонения от первоначальных значений;

· определенная изменчивость, когда среди обрабатываемых значений большая часть отклоняется друг от друга на величину, превышающую погрешность измерения.

При расчете двухмерного тренда предполагается, что изучаемый показатель (U) задан на плоскости с координатами (x,y), причем:

Компонента f(x,y) представляет собой закономерную составляющую поля, характерную для отдельных участков изучаемой территории (области повышенных концентраций токсичного элемента, высотных отметок рельефа, геофизических параметров, мощностей рудного тела и т. д.). Случайная компонента позволяет выявить локальные отклонения на участках от общих региональных закономерностей (тренда) изменения всего поля в целом. Необходимо дать математическое описание функции f(x,y) и выполнить оценку случайной компоненты e при некотором предположении о f(x,y). Например, для конкретной геохимической задачи значения функции f(x,y) устанавливают характер изменения фоновых значений поля распределения содержаний элемента в почвах. А учет значений e позволяет выявлять аномалии, как отклонения от функции f(x,y). Закономерная составляющая поля может быть описана с помощью полинома k-го порядка:

(7.13)

Коэффициенты этого полинома при различных степенях координат (x,y) определяются из условия наилучшего совпадения сглаженных данных с исходными. Критерием его проверки служит способ наименьших квадратов. Он изучался нами в регрессионном анализе для зависимой переменной в одномерном варианте. В тренд-анализе сумма квадратов отклонений исходных данных (Ui) от значений тренда (f(xi,yi) должна быть наименьшей для оптимального полинома.. Поэтому тренд-анализ можно считать разделом многомерного регрессионного анализа, а построение изолиний ─ обобщением теории интерполяции.

Сущность метода рассмотрим на примере определения двумерного тренда отметок подошвы меловых отложений, экранирующих нефтяную толщу, в пределах площади, показанной на рисунке 7.4.

Рис. 7.4 Карта скважин с замерами абсолютных отметок подошвы меловых отложений (По Дж. Дэвису)

Тренд определяется как линейная функция географических координат (х, у), построенная по совокупности наблюдений методом наименьших квадратов. Это означает, что сумма квадратов отклонений значений признака от плоскости тренда должна быть минимальной. Поэтому тренд можно рассматривать как вариант регрессионного анализа, в котором в качестве независимых переменных выступают пространственные координаты, а зависимой переменной является изучаемая пространственная переменная - абсолютные отметки подошвы меловых отложений. Поэтому уравнение тренда ищем в виде:

U=β0+β1x+β2y (7.14)

Для оценки трех коэффициентов составляется система уравнений.

ΣU= β0 n+ β1Σx+ β2Σy

Σxy= β0Σx+ β1 Σx2+ β2Σxy (7.15)

ΣyU= β0 Σy+ β1 Σxy + β2 Σy2

n - число точек наблюдения;U- значения признака в точках наблюдения; x,y- пространственные координаты.

Исходные данные и расчеты приведены в таблице 7.1.

Таблица 7.1

№ п/п	Координаты	Абс. отметка U, м	Отметка плоскости тренда,Ŭ ,м	Разности (U- Ŭ), м
Х, км	У, км
1	10	17	-665	-606,6	-58,3
2	21	89	-613	-695,7	82,7
3	33	38	-586	-537,8	-48,1
4	35	20	-440	-492,8	52,8
5	47	58	-544	-510,2	-33,7
6	60	18	-343	-369,2	26,2
7	65	74	-455	-455,5	0,5
8	82	93	-437	-411,5	-25,4
9	89	60	-354	-313,0	-40,9
10	97	15	-142	-186,0	44,1

Для построения плоскости тренда вычисляются суммы:

Σx=539; Σy=482; ΣU=-4579;

Σx2=36934 Σy2=31692; Σx*U= -211098;

Σx*y=27030; Σy*U= -232342

Подставляя значения сумм в систему уравнений и решая их относительно коэффициентов, находим: β0 =-621,0; β1 =4,8; β2= -2. Затем по уравнению (7.14) находим значения отметок плоскости тренда (Ŭ) в каждой скважине и разности (U-Ŭ), характеризующие величину случайной составляющей - отклонения плоскости тренда от исходных наблюдений. По рассчитанным данным построена поверхность тренда (рис.7.5).

Рис. 7.5 Поверхность тренда абсолютных отметок подошвы меловых отложений

Оценка погрешности тренда выполняется по формулам:

(7.16)

(7.17)