Математические методы в экологической геологии (стр. 19 )

Известно три способа задания функций: табличный, графический и аналитический. Табличный способ (например, журнал опробования) используется лишь для сбора и хранения информации. Провести пространственный анализ полей и определить главные тенденции в изменении поля из-за громоздкости представления данных сложно. Наиболее широко в геологической практике используется графический способ задания функций. При этом строятся либо графики одномерных функций зависимости значений показателя от координат: U=f(x), U = f (y); либо поверхности двухмерных функций координат: U = f (x, y), которые изображают с помощью изолиний поле значений показателя. Реже выполняют построение трехмерных функций: U = f (x, y, z) в виде блок-диаграмм. Трехмерные поля чаще описывают системой плоских сечений, как это принято в разведке месторождений системой разрезов. При аналитическом способе задания поля известна формула, описывающая закономерности изменения поля в пространстве. Обычно эта формула не сводится к простым линейным или нелинейным зависимостям. Чаще всего это комбинация простых зависимостей, в качестве которых используют функциональные полиномы (степенные, тригонометрические, ортогональные).

7.2 Модель пространственной изменчивости признака

При изучении полей пространственных переменных, прежде всего, необходимо создать систему наблюдений, зафиксировать их координаты и замерить в каждой точке наблюдения значения различных показателей. Особо важным является этап выбора положения системы точек наблюдения на объекте. Необходимо предварительно изучить все имеющиеся данные о строении объекта. При этом возможны два наиболее типичных случая:

· областями наблюдений служат реально существующие неоднородности строения изучаемого объекта, т. е. ограниченные по размерам природные образования, имеющие четкие границы с окружающей их средой;

· значительно чаще из-за отсутствия природных границ можно лишь искусственно выделить (с помощью статистических методов обработки данных) неоднородности, в пределах которых необходимо изменение (сгущение или разрежение) системы наблюдений, с последующей проверкой ее оптимальности.

В зависимости от соотношения между размерами неоднородностей поля пространственной переменной и расстоянием между смежными наблюдениями возможно различное представление одного и того же поля:

- если расстояния между точками системы наблюдений существенно превышают размеры неоднородностей строения объекта, то по результатам таких наблюдений весь объект будет представляться однородным полем данной переменной;

- при сопоставимых размерах неоднородностей и расстояний между смежными наблюдениями пространственное изменение значений переменной будет сильно варьировать, приобретая случайный характер (см. рис.1а);

- если в пределах одного элемента неоднородности помещается несколько точек наблюдения, то на этом участке появляется плавное изменение значений переменной и график приближается к виду закономерного (см. рис.1б).

Графики, ранее представленные на рисунке 1, дают яркое представление о характере изменчивости одномерного пространственного показателя. В первом случае, это случайная изменчивость, которая характеризуется знакопеременными приращениями функции координат. Кривая имеет пилообразную форму. Во втором случае кривая изменяется плавно. Знак приращения меняется только один раз, после вершины кривой. Значения показателя во всех точках наблюдения функционально связаны между собой. Такой график демонстрирует закономерный характер изменчивости показателя. Природная (наблюдаемая) изменчивость полей эколого-геологических показателей обычно включает как закономерную, так и случайную составляющую изменчивости. Поэтому реальные значения поля какого-либо показателя в любой точке наблюдения можно представить в виде алгебраической суммы двух составляющих изменчивости – закономерной и случайной:

Ui = f(xi, yi, zi) + δi (7.2)

- где Ui - значение показателя в i-той точке наблюдения;

- f(xi,yi,zi) - значение закономерной составляющей в i-той точке наблюдения;

- δi - значение случайной составляющей в i-той точке наблюдения.

Закономерная составляющая поля отражает региональную закономерность (тренд) в его изменении на изучаемом объекте.

Случайная составляющая изменчивости рассчитывается как отклонения измеренных значений показателя от значений закономерной составляющей в одних и тех же точках. Наличие в поле любого показателя случайной составляющей определяется сложностью природной изменчивости, которую трудно описать известными математическими функциями. Это объясняется как природными (особенностями осадконакопления, геохимическими свойствами элементов и соединений, интенсивностью водопритоков), так техническими (погрешности приборов измерения показателя) и методическими (плотность сети наблюдений) факторами. Если при интерпретации закономерной составляющей необходима привязка к конкретным факторам, то для случайной - обычно этого не требуется. Ограничиваются лишь общей ее статистической оценкой и выполнением условия не превышения допустимой для данных работ погрешности. Так, например, при геохимическом картировании для выделения аномалий пользуются известным соотношением: Са = Сф + 3σ. где Са - минимально аномальное содержание; Сф - предел рассеяния вещества (фон) для данной среды; σ- стандартное отклонение значений содержания в точках наблюдения от фона.

Таким образом, для построения модели пространственной изменчивости необходимо последовательно решить три задачи:

1. Оценить вероятность наличия закономерностей в природной изменчивости показателя.

2. Выделить и описать (графически или аналитически) закономерную составляющую.

3. Рассчитать методами математической статистики случайную составляющую и проверить условие ее соответствия допустимой погрешности.

7.3 Методы оценка вероятности наличии закономерной составляющей пространственной изменчивости показателя

Эти методы основаны на сравнении наблюдаемых в пространственно упорядоченном ряду свойств со случайным рядом значений. Самым простым методом решения этой задачи является проверка статистических гипотез способом знаков или скачков. Рассмотрим каждый из названных двух способов.

Точкой смены знака в последовательности значений называется такая точка наблюдения, в котором знак приращения изменяется на противоположный - убывание на возрастание и наоборот. Ниже на рисунке 7.2 кружками обозначены точки смены знака.

-

Рис. 7.2 Изменение объемной массы угля по простиранию угольного пласта в пределах шахтного поля).

Число точек смены знака в случайных последовательностях зависит только от общего количества точек в ряду (N). Если N>10, то статистическое распределение числа точек смены знака близко к нормальному с математическим ожиданием:

(7.3)

и дисперсией:

(7.4)

Для проверки статистической гипотезы о наличии закономерной составляющей (тренда) необходимо сравнить фактическое числа точек смены знака (t), полученное по исследуемому графику изменчивости показателя (см. рис. 7.2 ), с теоретическим его значением M(t), рассчитанным по вышеприведенной формуле (7.4). Для оценки значимости их отличия используюттаблицу функции нормального распределения Z (прил. табл.7). Поскольку в таблицах приводятся значения нормированной функции нормального распределения, то для получения вероятностного критерия (Z) разницу между фактическим и теоретическим числом точек смены знака надо разделить на стандартное отклонение:

(7.5)

В неслучайной последовательности значения t и M(t) не должны существенно отличаться. Следовательно, вероятность больших по абсолютной величине значений Z-критерия будет мала. Так как значения Z-критерия распределены нормально с параметрами 0 и 1, то по его величине с помощью таблиц нормированного нормального распределения можно оценить вероятность отклонения фактического числа точек смены знака в исследуемой последовательности значений от теоретического (случайного). Если эта вероятность мала (меньше заданного уровня значимости 0,05), то гипотеза о случайном характере изменения показателя отвергается и считается, что следует выделять закономерную составляющую.

Пример. Проверим гипотезу о наличии тренда в изменении объемной массы угля по продольному профилю из 30 буровых скважин, ориентированному по простиранию угольного пласта (см. рис.3). Математическое ожидание и дисперсия для числа точек смены знака для N=30 будут равны:

Фактическое число точек смены знака по профилю (см. рис. 7.2) равно 13. Следовательно, значение Z-критерия составит:

,

Находим по таблице 7 приложения соответствующую вероятность для найденного значения критерия Z. Она равна 0,0054. Вероятность полученного отклонения очень мала (меньше 0,05). Следовательно гипотезу о случайном характере изменчивости объемной массы угля по простиранию угольного пласта следует отвергнуть. Присутствует закономерная составляющая.

При малом числе данных наличие тренда в изучаемом направлении можно проверить с помощью критерия «скачков». Допустим, имеется ряд пространственно упорядоченных значе-ний показателя. Необходимо рассчитать медианное значение этого ряда. В ряду все значения выше медианного заменяются знаком «+», а ниже медианного - знаком «–». «Скачком» называется последовательность плюсов или минусов, состоящая из одного или более одинаковых элементов. Например, если пространственный ряд значений имеет вид: , то медианное значение равно 4. Оно из подсчета скачков исключается. Тогда знаковый ряд: – – – + + + образует два скачка. Эти же данные в последовательности образуют ряд с четырьмя скачками: – – + + – +. Ниже представлена последовательность из шести скачков, которые зафиксированы последовательностью знаков по оси абцисс.

Рис. 7.3.Изменение общей пористости пород по профилю.

Вероятность наступления P(u) в последовательности из n1 и n2 элементов плюсов и минусов при четном значении u равна:

(7.6)

а при нечетном:

(7.7) где U – число скачков; n1 - число значений в последовательности со знаком «+»;n2- число значений в последовательности со знаком «-».N=n1+n2.

Если полученное значение P(u) меньше a, гипотеза о случайном расположении значений в пространстве отвергается.

Применение критерия продемонстрируем на примере содержаний щелочей в интрузивных породах по данным отбора проб в заданном направлении:

Na2O : 2,45 3,46 2,48 2,97 3,35 2,95 2,15 2,65 2,43 3,63 6,01

K2O 0,20 0,14 0,28 0,21 0,33 0,35 0,47 0,34 0,49 0,68 0,78

Медианное значение для ряда значений содержаний Na2O равно 2,95, а для K2O - 0,34. С учетом этого получим следующие знаковые ряды:

Na2O : - + - + + + - - - + +

K2O - - - - - + + + + + + ,

то есть n1=n2=5, но u1=6, а u2=2. Определим P(u) для содержаний K2O:

Аналогично для Na2O получим P(u)=0,286. В первом случае вероятность появления скачков значительно меньше 0,05 принятого в геологии для объективности проверяемой нулевой гипотезы, событие не случайно и свидетельствует о наличии тренда. Во втором случае вероятность появления наблюдаемого числа скачков не отвечает редкому событию, могло возникнуть за счет случайных причин.

При N больше 10 распределение функции P(u) приближается к нормальному, рекомендуют определить возможное среднее число скачков:

(7.8)

и дисперсию:

(7.9)

на основе которых получить значение t-критерия:

(7.10)

Если tэмп больше допустимого при принятом уровне значимости (a=0,005) и имеющемся числе степеней свободы, то изменение значений неслучайно, т. е. тренд существует.

Для K2O имеем: =2(5*5):(5+5)+1=6

s2(u)=2*5*5*(2*5*5-5-5):(5+5+1)=1,82;

tэмп =|2-6|:=4:1,35=2,9.

Это больше, чем t0,05(9)=2,26. Для Na2O имеем:

tэмп =|6-6|:=0.

Сравнение ряда последовательных значений показателя в точках наблюдений можно сравнить с закономерным, последовательно возрастающим рядом с помощью рангового коэффициента корреляции.

Ранговый коэффициент вычисляется между рангом изучаемой последовательности и возрастающим рядом чисел. Для рассматриваемых окислов имеем:

Ряд чисел: 9 10 11

Na2O : 2 10 11

Разность, сумма =0

K2O : 9 10 11

Разность :- , сумма=0

Таким образом, между содержаниями первого окисла (Na2O) связь незначима, а второго (K2O) близка к функциональной, свидетельствует о наличии закономерной составляющей.

Каждый из рассмотренных способов применим для выяснения закономерностей определенного типа. Способ “смены знака” лучше улавливает локальные закономерности, проявленные плавными изменениями свойств, а способ “скачков” лучше устанавливает общие тенденции ряда. Поэтому для принятия гипотезы о наличии тренда достаточно подтверждения хотя бы одним из способов. Оба способа можно использовать и для проверки гипотезы о характере изменения геолого-экологических свойств в двумерном пространстве, построив графики изменчивости по различным направлениям.

7.4 Автокорреляция

Близким к третьему способу проверки наличия закономерной составляющей в последовательном ряду наблюдений является метод автокорреляции. Под этим термином понимается класс задач, решаемых на основе корреляционного анализа с учетом местоположения точек наблюдений. При обработке геологической информации автокорреляция обычно применяется в двух модификациях:

· собственно автокорреляция состоит в определении тесноты связи между парами значений одного и того же признака, упорядоченных по профилю, со сдвигом на одну, две и т. д. точки;

· поиск заданного сигнала на профиле с помощью определения тесноты связи между заданными n значениями сигнала и последовательно меняющимися (скользящими) за счет сдвига на определенное число точек n смежных значений признака на профиле.

С помощью первой модификации оценивают расстояние, начиная с которого между значениями признака на профиле связь исчезает (значения признака становятся независимыми). Эту модификацию можно использовать для решения задачи проверки наличия тренда. Коэффициент автокорреляции рассчитывается по следующей формуле:

(7.11)

- где r - расстояние между точками наблюдения.

- Остальные обозначения аналогичны расчету парного коэффициента корреляции (см. формулу 5.1)

Если получается значимый коэффициент автокорреляции, то в пределах рассматриваемого участка можно выделять закономерную составляющую.

Вторая модификация позволяет выделять участки профилей, в пределах которых значения признака более всего коррелируют со значениями заданного сигнала. Приведем пример решения задачи с помощью метода автокорреляции.

Задача 1. Определены содержания изучаемого элемента в пробах, отобранных по профилю на расстояниях 20 метров друг от друга. Определить с помощью автокорреляции расстояние, на котором исчезает связь между значениями содержаний элемента в соседних пробах, т. е. не выявляется закономерная составляющая изменчивости содержаний элемента.

Исходные данные: 2 1.

Решение. Рассчитываем коэффициент автокорреляции между значениями содержаний без смещения данных по профилю:

2 1

2 1 Получаем r=1.

При смещении коррелируемых значений содержаний относительно друг друга на одну пробу:

2

1 Получаем r=0,76.

При смещении исходного ряда значений содержаний на две пробы

Получаем r=0,27, то есть связь стала незначимой.

Таким образом, отбирая пробы на заданном профиле через 40 метров, получим независимые друг от друга, случайные значения содержаний.

Задача 2. Ореол повышенных содержаний элемента над глубокозалегающим рудным телом фиксируется геофизическим прибором, полезный сигнал которого имеет форму постепенно возрастающих до некоторой величины значений и затем их спад. Допустим, что для конкретного полезного ископаемого этот сигнал фиксируется в пяти последовательных точках значениями 7; 8,5; 10; 8,5; 7. Найти с помощью автокорреляции участок профиля, на котором распределение содержаний в пробах наиболее соответствуют искомому полезному сигналу.

Исходные данные:

№ точки: 9

Содержание:1

Решение: Просчитываем последовательно коэффициенты корреляции (ri)между пятью заданными значениями полезного сигнала и значениями содержаний на профиле (точки 1-5; 2-6; 3-7 и т. д.). Получаем:

№ точки: 4

ri: -0,52 -0,6 -0,4 -0,38 -0,37 0,99 0,37 -0,38

Находим участок максимально похожий на полезный сигнал и соответствующий надрудной зоне. Это участок с номерами точек с 6 по 10, для которого значение коэффициента корреляции максимально (0,99).

7.5 Методы выделения и описания закономерной составляющей

Для выделения закономерной составляющей пространственной изменчивости эколого-геологических показателей используют два подхода:

· тренд-анализ, представляющий собой аппроксимацию наблюдаемых полей эколого-геологических показателей единой функцией пространственных координат (степенными, тригонометрическими, ортогональными полиномами);

· сглаживание исходных данных скользящими статистическими окнами (скользящее среднее);

Методы скользящего среднего более универсальны и обеспечивают лучшие оценки средних параметров полей по сравнению с методами полиномиального тренд-анализа. Последний используется преимущественно для выявления региональных закономерностей. Рассмотрим каждый из них.

7.5.1. Тренд-анализ

Под трендом понимается любая закономерность в упорядоченной последовательности величин или графических элементов. С помощью тренд-анализа изучают поля значений признака, охарактеризованные двумя, тремя и четырьмя координатами. В любом случае надо установить зависимость изменения значений признака от координат. Число координат, используемых в этом методе, определяет размерность тренда: одномерный (профиль по горизонтальному -х или вертикальному -у направлениям); двухмерный (x,y - плоскостные координаты), трехмерный - x,y,z (z-высотная отметка), четырехмерный - x,y,z,t (t -время) тренд. Рассмотрим процедуру расчета двухмерного тренда. При этом для изучаемого показателя должны выполняться два основных условия: