Анализ энтропийных моделей режимов электротехнических систем с генерирующими источниками, включая режимы детерминированного хаоса (стр. 10 )

При решении уравнения диффузии вероятности предусмотрено получение в форме тригонометрического ряда Фурье плотности вероятности показателей качества функционирования ЭС ГИ. Период ряда Фурье определяется интервалом рассмотрения динамических процессов в ЭС ГИ.

Вычислительная процедура представляет собой численно-аналитический метод, приводящий к численному определению коэффициентов Фурье плотности вероятностей показателей качества, представлению плотности вероятности аналитическими выражениями в форме сумм конечного числа гармонических составляющих. При этом становится возможным осуществить энтропийный анализ показателей качества переменных состояния ЭС ГИ (частоты, токов и т. д.) и энергетических показателей (активной мощности, потребления электроэнергии и т. д.), а также анализ энтропийной устойчивости ЭС ГИ.

Исходными данными в вычислительном алгоритме (программе) являются:

-число гармоник N;

-компоненты вектора АК;

-компоненты вектора коэффициентов корреляции К;

-компоненты вектора начальных условий системы дифференциальных уравнений Y0;

В программе используются подпрограммы

-решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта 4-го порядка, её имя RKGS;

-формирования системы дифференциальных уравнений на одном шаге, её имя FCT;

-вывода результатов решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений и вычисления энтропии, её имя QUPT.

Программа зарегистрирована в объединенном фонде электронных ресурсов «Наука и образование» РАО [41].

Рисунок 2.1 – Блок-схема алгоритма [39]

2.4 Вторая вариация текущей энтропии как аналог функции Ляпунова
в анализе энтропийной устойчивости

Если считать, что ПКФ представляет собой непрерывную функцию от параметров и переменных состояния ЭС ГИ, то энтропийная устойчивость связана с приспособляемостью ЭС ГИ к изменениям условий функционирования, при этом решающее значение имеет осуществление ЭС ГИ необходимых изменений в своей структуре за определённое время Т. В этой связи важно иметь свой критерий энтропийной устойчивости, являющийся аналогом функции Ляпунова при детерминированном описании ЭС ГИ. Значение отыскания такого критерия состоит в том, что открываются новые теоретические возможности в исследовании энтропийной устойчивости. Вместе с тем получение критериев энтропийной устойчивости имеет практическое значение. Заметим, что в математическом и физическом аспектах некоторая ЭС ГИ считается энтропийно устойчивой, если при ее энтропия H(t) не превосходит некоторую максимальную величину Hmax., другими словами, энтропия лежит в пределах , и энтропийно неустойчивой, если при энтропия H(t) стремится к бесконечности.

Наиболее целесообразным критерием энтропийной устойчивости представляется такой, выполнение которого обеспечит функционирование ЭС ГИ с максимальной энтропией и минимальной скоростью изменения энтропии

. (2.30)

Условие с необходимостью приводит к первому критерию энтропийной устойчивости: первая вариация энтропии dН равна нулю, а вторая вариация энтропии d2Н меньше нуля.

Условие , совместно с d2Н<0 приводит ко второму критерию энтропийной устойчивости: скорость изменения во времени больше нуля или равна нулю в предельном случае

. (2.31)

Выражения (2.30) и (2.31) представляют необходимое и достаточное условие энтропийной устойчивости.

В качестве аналога функции Ляпунова применяется вторая вариация энтропии d2Н. Вторая вариация энтропии d2Н указывает на нарастание или убывание энтропии и тем самым указывает на энтропийную устойчивость или неустойчивость ЭС ГИ.

Имеется еще одна причина, из которой следует, что теория энтропийной устойчивости должна исходить из свойств d2Н. Вторая вариация d2Н энтропии непосредственно связана со статистической теорией флуктуаций. Вероятность возникновения флуктуации ПК режимов функционирования ЭС ГИ выражается формулой [44]

P~exp(DH), (2.32)

где DH – отклонение энтропии Н от Нmax.

В работе [74] выражение (2.32) использовано для отыскания распределения вероятностей мощностей ЭС ГИ, содержащей управляемые вентильные преобразователи. Представляя

(2.33)

и учитывая, что для ЭС ГИ dН=0, находим

. (2.34)

Для энтропийной устойчивости необходимо, чтобы d2Н<0. Поэтому теорию энтропийной устойчивости следует строить на основе функции d2Н как аналоге функции Ляпунова в том смысле, как она определена в [9, 42].

Переход между энтропийной устойчивостью и энтропийной неустойчивостью связан с нарушением неравенства для критического ПК режимов функционирования и связанного с ним численного значения параметра ЭС ГИ.

Если после некоторого начального возмущения, ЭС ГИ эволюционирует от произвольного распределения вероятностей p(x, t) к стационарному (асимптотическому) распределению вероятностей , то тогда, опираясь на определение энтропии, выражение для текущей энтропии получается в виде [34]

. (2.35)

Рисунок 2.2 Устойчивая эволюция второй вариации энтропии для математической модели (2.10).

Таким образом, начинает выясняться роль текущей энтропии Н(t), второй вариации энтропии d2Н, класса распределений вероятностей p(x, t) в анализе энтропийной устойчивости режимов функционирования ЭС ГИ. Кроме детерминированных (каузальных) уравнений состояния необходимо знать класс распределений вероятностей переменных состояния, при которых ЭС ГИ остается энтропийно устойчивой или, наоборот, становится энтропийно неустойчивой.

2.5 Энтропийный анализ показателей качества функционирования

2.5.1 Энтропийный анализ чувствительности показателей качества функционирования

Энтропийный анализ чувствительности ПКФ проведен в соответствии с методикой, изложенной в [28].

Если математическое описание ЭС ГИ проведено с помощью переменных состояния, то чувствительность ЭС ГИ характеризуется матрицей чувствительности , которая указывает влияние каждого параметра на каждую переменную состояния. Элемент zij называют функцией чувствительности и определяют как [19]

, (2.36)

где xi – i-я переменная состояния, qj – j-й параметр.

Функция чувствительности, в сущности, показывает скорость изменения i-й переменной состояния по j-му параметру.

Вследствие случайного характера возмущений и начальных условий переменные состояния – случайные функции времени. Определение функции чувствительности непосредственно по (2.36) при случайном изменении xi(t,q1,…,qj,…,qm) невозможно. Требуется отыскать статистические моменты функций чувствительности для их объективного описания.

Необходимые математические ожидания, дисперсии и взаимные корреляционные моменты переменных состояний находятся по методике [65]. Не повторяя результатов [65], будем считать известным математические ожидания xi-mi(t,q1,…,qj,…,qm), дисперсии xi-Di(t,q1,…,qj,…,qm), взаимные корреляционные моменты между xi, xd –Kid(t,q1,…,qj,…,qm).

Определим математическое ожидание функции чувствительности zij.

. (2.37)

Дисперсия функции чувствительности zij находится как

, (2.38)

где Ri(t,q1,…,qj,…,qm) – корреляционная функция xi

Корреляционный момент между функциями чувствительности zij и zdl

. (2.39)

Выражение (2.39) получено по аналогии с (2.38), но вместо корреляционной функции Ri использовалась корреляционная функция между xi и xd.

При больших значениях корреляционного момента будет существовать влияние zij на zdl, приближающееся в пределе к прямо пропорциональной зависимости между ними. Положительный знак корреляционного момента означает, что функции чувствительности zij и zdl изменяются аналогичным образом при изменении qi и qi.