Анализ энтропийных моделей режимов электротехнических систем с генерирующими источниками, включая режимы детерминированного хаоса (стр. 9 )

2.2 Уравнение Риккати для матрицы корреляционных моментов переменных состояния

Рассматривается определение корреляционных моментов переменных состояния в процессе временной эволюции ЭС ГИ. Иначе говоря, определяются изменяющиеся во времени математические ожидания, дисперсии и корреляционные моменты переменных состояния (ПС).

В качестве исходной принята математическая модель ЭС ГИ (2.1). Система линеаризованных уравнений в матричной форме, отображающая ЭС ГИ, имеет вид

(2.15)

где Q(t) – квадратная матрица коэффициентов линеаризованной системы дифференциальных уравнений.

Применяя к (2.18) операцию математического ожидания, получим

(2.16)

где mx - вектор математических ожиданий ПС,

mF - вектор математических ожиданий возмущений.

Последние отыскиваются с помощью экспериментальных статистических исследований.

Решение системы (2.16) позволяет определить математические ожидания ПС. Единственность решения обеспечивается матрицей начальных значений mx(t0) вектора математических ожиданий ПС.

Для отыскания дисперсий и корреляционных моментов ПС необходимо применить операцию центрирования к системе (2.15). Для этого из системы (2.15) вычтем систему (2.16). Следуя [28], получим

(2.17)

где - центрированный вектор ПС,

- центрированный вектор возмущений.

Умножим выражение (2.17) на вектор и применим операцию математического ожидания. Тогда

. (2.18)

Затем, транспонировав выражение (2.17), умножим полученное выражение на и применим операцию математического ожидания

. (2.19)

Сложим выражения (2.18) и (2.19). Получим, что

.

Окончательно, дифференциальное уравнение относительно матрицы корреляционных моментов Kx(t), в дальнейшем называемое уравнением Риккати, имеет вид

, (2.20)

где Kx(t), - соответственно квадратичная матрица корреляционных моментов (МКМ) вектора X(t) и взаимные МКМ векторов , и , .

Заметим, что при нахождении выражения (2.20) использовалось определение МКМ некоторого случайного вектора [29].

Если Wup(t,t) - весовая функция u-й ПС по отношению к p-му воздействию, т. е. реакция на единичный импульс Fp=d(t), то [28]

, (2.21)

где Rpy(t) - корреляционная функция р-го и y-го возмущений.

Решение системы дифференциальных уравнений (2.20) позволяет отыскать изменяющиеся во времени дисперсии и корреляционные моменты ПС. Единственность решения обеспечивается заданием МКМ Kx(t0) в начальный момент времени t0.

2.3 Численно-аналитический метод исследования энтропийной устойчивости на базе тригонометрических рядов Фурье

Метод рядов Фурье разрабатывается применительно к математическим моделям ЭС ГИ, записанным в канонической форме. При этом решаются следующие задачи:

- определение статистических моментов второго порядка переменных состояний;

- определение плотностей вероятностей переменных состояния;

- построение алгоритмов исследования энтропийной устойчивости.

Представим матрицу Q(t) и вектор F(t) в форме тригонометрических рядов Фурье

, (2.22)

, (2.23)

,

где

u - номер гармоники.

Компоненты векторов Fuс и Fus являются случайными соответственно косинусными и синусными составляющими компонент вектора F(u).

Решение (2.17) будем отыскивать в виде тригонометрических рядов Фурье со случайными косинусными и синусными составляющими

(2.24)

где , u - номер гармоники.

Компоненты векторов xuс и xus являются случайными косинусными и синусными составляющими компонент вектора .

Продифференцировав (2.24) по и, перемножив между собой (2.22) и (2.24) по правилам, изложенным в [58], подставим полученные выражения в (2.17). Тогда, используя принцип гармонического баланса, получим

, (2.25)

где Y=(x1c,x1s,…,xuc,xus,…,xNc,xNs)T,

xuc =( x1uc,…,xiuc,…, xnuc)T,

xus =( x1us,…,xius,…, xnus)T,

WF =( F1s,F1c,…,Fus,Fuc,…, FNs,FNc)T,

.

Элементы матрицы С представляют собой субматрицы сuk. Элементы субматрицы сuk зависят от гармонических составляющих матрицы Q(u). Выражения для отыскания элементов сuk приведены в [52].

Выражение (2.25) является основным соотношением для определения МКМ относительно амплитуд гармонических составляющих переменных состояния. Согласно [16], МКМ KY определяется в виде

, (2.26)

где М – операция математического ожидания. Имея в виду, что

Y=C-1WF+C-1W1+C-1W2, YT=WFTC-1T+ W1TC-1T+ W2TC-1T, (2.27)

получим

, (2.28)

где - квадратные МКМ соответственно векторов Y, WF, W1, W2, при условии взаимной независимости векторов Y, WF, W1, W2.

Диагональные элементы МКМ KY представляют из себя дисперсии, а недиагональные элементы – корреляционные моменты гармонических составляющих вектора F, МКМ KY симметрична относительно главной диагонали.

Осуществим переход к нормированной МКМ . Если обозначить , а где , то элемент нормированной МКМ определится как

, (2.29)

а диагональные элементы нормированной МКМ равны единице.