Анализ энтропийных моделей режимов электротехнических систем с генерирующими источниками, включая режимы детерминированного хаоса (стр. 8 )

3.Разработка методов исследования энтропийной динамики и энтропийной устойчивости ЭС ГИ. Отыскание критериев энтропийной устойчивости ЭС ГИ.

4.Анализ энтропийных моделей переходных (и, как частный случай при t→, установившихся) режимов ЭС ГИ, включая режимы детерминированного хаоса.

5.Обоснование эквивалентности текущей плотности энергетического спектра и приращения текущей энтропии случайных (стохастических) и хаотических режимов.

ГЛАВА 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭНТРОПИЙНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ГЕНЕРИРУЮЩИМИ ИСТОЧНИКАМИ

2.1 Уравнение диффузии плотностей вероятностей
переменных состояния

При анализе энтропийных моделей режимов функционирования ЭС ГИ приняты следующие допущения:

- электрическая схема ЭС ГИ из n генераторов приведена на рисунке 1.1, в которой все напряжения измеряются относительно узла 0 (нейтраль), узлы 1, 2,…, n – шины соответствующих генераторов или точки подключения ЭДС за переходными реактивными сопротивлениями;

- механический угол ротора генератора совпадает с углом ЭДС за переходным реактивным сопротивлением;

- нагрузка по своим характеристикам занимает промежуточное положение между постоянным полным сопротивлением (Zн=const) и постоянной полной мощностью (Sн=const), носит случайный характер и может оказывать существенное влияние на результаты анализа энтропийной устойчивости ЭС ГИ.

Рассмотрим ЭС ГИ, описываемые смешанной системой дифференциальных и алгебраических уравнений (система уравнений в так называемой канонической форме) [35]

(2.1)

Здесь X, Y – векторные координаты, которые образуют соответственно пространство переменных состояния и пространство показателей качества функционирования.

Относительно векторов функций F и f в дальнейшем используются различные предположения. Вначале будем считать эти функции дифференцируемыми необходимое число раз во всей рассматриваемой области пространства состояний. Еще раз перепишем уравнение (2.1) в таком виде, который более удобен для дальнейших рассуждений

, (2.2)

, i=1,2,…,n. (2.3)

Начальные фазовые координаты x1(0), x2(0), …, xn(0) считаются случайными и их распределение характеризуется плотностью вероятности p(x1, …, xi, …, xn, 0) = p0(x, …, xi, …, xn), которая, по определению, удовлетворяет условию нормировки

.

Требуется найти уравнение, которому подчиняется изменение текущей плотности вероятности в пространстве состояний p(x1, …, xi, …, xn, t). Текущая плотность вероятности показателей качества функционирования py(x1, …, xi, …, xn, t) будет определена через p(x1, …, xi, …, xn, t) с использованием аналитической связи между X и Y.

Достаточно наглядный вывод искомого уравнения получается при использовании представления о «фазовом газе». Подобные представления применяются в анализе энтропийной динамики [21], когда уравнение диффузии вероятностей получено для математической модели ЭС ГИ, записанной в нормальной форме Коши. Следуя [21] и используя аналогичные приемы, в данной работе уравнение диффузии вероятностей переменных состояния формируется для математической модели ЭС ГИ, записанной в канонической форме.

Понятие «фазового газа» может быть интерпретировано следующим образом. Допустим, что имеется счетное множество совершенно одинаковых ЭС ГИ с одинаковыми Fi, fi и системами уравнений состояния, отличающихся лишь различными начальными условиями. Изображающая точка каждой такой ЭС ГИ будет совершать в пространстве состояний некоторое движение. Движение частиц фазового газа в каждой точке пространства состояний имеет регулярную составляющую, обусловленную функциями Fi, fi и случайную составляющую, вызываемую шумами Ui(t). Поэтому мгновенная плотность «фазового газа», т. е. количество частиц на единицу объёма в данный момент времени и в данном месте пространства состояний, будет иметь как регулярную составляющую (математическое ожидание) p(x1, …, xn, t), так и случайную центрированную составляющую Dp(x1, …, xn, t). Математическое ожидание плотности «фазового газа» равно искомой плотности вероятности в пространстве состояний.

Дифференцируя уравнение (2.3) по t и подставляя значение из уравнения (2.2), получаем

, (2.4)

где - элемент обратной матрицы Якоби.

Условие сохранения имеет вид [20]

. (2.5)

Отсюда следует, что

. (2.6)

Поскольку , то левая часть уравнения (2.6) есть полная производная по времени функции Dp. Следовательно,

(2.7)

Уравнение (2.7) есть линейное уравнение относительно Dp с нулевым условием Dp(0)=0. Решение уравнения (2.7) имеет вид

(2.8)

где WDp(t,t’) – весовая функция.

Умножая (2.8) слева и справа на Ui(t) и применяя операцию математического ожидания, находим

, (2.9)

где Sij - взаимная спектральная плотность между i-м и j-м случайными процессами.

Множитель 1/2 появляется в (2.9) потому, что интегрирование функции ведется в пределах от 0 до +0, а не от -0 до +0.

Подставляя (2.9) в (2.6), получаем окончательно

(2.10)

Решение уравнения диффузии в канонической форме математической модели ЭС ГИ удовлетворяет условию нормировки.

Рассмотрим реальные ситуации, которые весьма часто возникают в ЭС ГИ.

А) Управляющие параметры зафиксированы. Поэтому можно искать стационарную (t) вероятностную функцию распределения, приняв . В результате (2.10) сводится к

, (2.11)

решением которого является [21]

(2.12)

где N – некоторая константа.

Если коэффициент диффузии D непостоянен, то решение может быть записано в виде [21]

, (2.13)

N – константа нормировки.

Б) Коэффициент диффузии D=0. Поэтому уравнение (2.13) запишется в виде

, (2.14)

решением которого является , что нетрудно проверить [21].

Вернемся к обсуждению качественных свойств уравнения диффузии вероятностей (2.10). Правая часть этого уравнения состоит из двух членов - «дрейфа» и «диффузии».

Роль «диффузии» двояка. Она описывает

1) размах плотности распределения р(x, t), которая концентрируется вокруг локального максимума, и

2) плотность вероятности р(x, t), которая характеризует перевод системы в некоторый отдалённый глобальный максимум [37].

«Дрейф» заставляет функцию распределения р(x, t) двигаться по направлению к ближайшему локальному максимуму.

Наличие двух членов в правой части уравнения (2.10) свидетельствует о том, что оно является уравнением с двумя временными масштабами. Это значит, что явление, описываемое качественно уравнением (2.11), происходит в двух совершенно различных временных масштабах: по «быстрой» шкале времени T1 связанной с обратной релаксацией к локальному максимуму после возмущения, и «медленной шкале времени T2, связанной с переходом к глобальному максимуму.