Анализ энтропийных моделей режимов электротехнических систем с генерирующими источниками, включая режимы детерминированного хаоса (стр. 19 )

В таблице 4.1 представлены результаты моделирования режимов одномашинной ЭС ГИ при различных начальных условиях.

Таблица 4.1 – Различные состояния системы при различных угловых частотах

(рад/с)	Время моделирования (с)	Конечное состояние	Фазовый портрет (диаграмма)
1.40	0,6	Точка равновесия	Рис. 4.4
1.36	1,5	Точка равновесия	Рис. 4.5
1.60	1,5	Энтропийно неустойчивый хаос	Рис. 4.6
1.40	1,6	Энтропийно устойчивый хаос	Рис. 4.7

Также на основании системы дифференциальных уравнений (4.10), заданных значений параметров и начальных условий получена оценка наибольшего показателя Ляпунова . Ввиду положительного знака величина , мы приходим к заключению, что напряжения и отклонения напряжения являются хаотическими колебаниями.

Рисунок 4.4 – Результаты моделирования при начальном

отклонении угловой частоты рад/с

Рисунок 4.5 – Результаты моделирования при начальном отклонении

угловой частоты рад/с

Рисунок 4.6 – Потеря энтропийной устойчивости хаотических колебаний угла поворота ротора при начальном отклонении угловой частоты рад/с

Численное интегрирование (4.10) обнаруживает, что напряжение (t) линии электропередачи колеблется вполне хаотично, как показано на рисунке 4.7

Рисунок 4.7 – Энтропийно устойчивые хаотические колебания напряжения (t) линии электропередачи при начальном напряжении (0)=0,97

Следует подчеркнуть, что указанные режимы детерминированного хаоса могут возникать и при решении жестких систем нелинейных дифференциальных уравнений, когда модель ЭС ГИ включает в себя совместное описание электромеханических и электромагнитных процессов.

4.4 Энтропийная модель режимов детерминированного хаоса в электротехнической системе с двумя генераторами

Рассмотрим энтропийную устойчивость (неустойчивость) возникающих режимов детерминированного хаоса в двухмашинной ЭС ГИ, изображенной на рисунке 4.8. В нее входят два генератора, снабжающие энергией динамически изменяющуюся во времени нагрузку или стационарную во времени нагрузку и три линии электропередачи.

Изменение текущей энтропии режимов детерминированного хаоса будем определять через спектральную энергетическую плотность, характеризующую мощность (энергию) хаотических режимов. Характер изменения спектральной энергетической плотности позволит сделать вывод об энтропийной устойчивости (неустойчивости) режимов детерминированного хаоса и, следовательно, предсказать последующую эволюцию хаотических режимов.

Анализ возникновения хаотических режимов отклонений угловой частоты проводился для двухмашинной ЭС ГИ с линиями без потерь. Предполагается, что синхронные генераторы имеют разную инерционность и разное демпфирование. Исследуемая ЭС ГИ показана на рисунке 4.8.

Рисунок – 4.8. Электротехническая система с двумя генераторами [44]

Такое допущение позволяет, с одной стороны, упростить систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих состояние ЭС ГИ, а с другой стороны, дать качественный и количественный анализ получаемого хаотического решения для отклонений частоты в ЭС ГИ.

Математическая модель двухмашинной ЭС ГИ, когда роторы синхронных генераторов имеют неодинаковую инерционность, причем генератор 1 имеет в большую инерционность по сравнению с генератором 2, имеет вид [67]:

(4.11)

Здесь – вектор переменных состояния

– совокупность параметров ЭС ГИ,

– соответственно отклонения углов поворота роторов, постоянные инерции 1-го и 2-го генераторов,

Рс12, Рс21 – синхронизирующие мощности между генераторами,

– соответственно изменение мощности, выдаваемой в сеть
1-м и 2-м генераторами,

– соответственно начальные значения мощности, выдаваемой в сеть 1-м и 2-м генераторами при возникновении возмущения в сети.

Энтропийная устойчивость (неустойчивость) математической модели (4.11) двухмашинной ЭС ГИ исследовалась с помощью программного комплекса MathCAD. В программном комплексе MathCAD ЭС ГИ задавалась в виде системы дифференциальных уравнений (4.11) и решение проводилось методом Рунге-Кутта 4-го порядка с переменным шагом. Интегрирование (4.11) производилось при следующих значениях параметров ЭС ГИ в относительных единицах и начальных условиях

Бифуркационное значение С12 (С21), связанное с синхронизирующей мощностью и инерционным моментом генератора, принимается равным 1,37. Это значение определяется неоднократным численным интегрированием системы дифференциальных уравнений (4.11) с изменяющейся величиной С12 (С21) до тех пор, пока не возникнет хаотических режим. Выбор в качества бифуркационного параметра С12 (С21) полностью оправдан, поскольку этот параметр характеризует небаланс мощностей генератора и турбины, что является одной из основных причин возникновения режимов детерминированного хаоса.

На основании системы дифференциальных уравнений (4.11), заданных значений параметров и начальных условий получена оценка наибольшего показателя Ляпунова . Ввиду положительного знака величина , мы приходим к заключению, что частота и отклонения частоты являются хаотическими колебаниями.

В результате обнаружены энтропийно устойчивые хаотические колебания и фазовые портреты отклонений углов поворота роторов и отклонений угловых частот генераторов ЭС ГИ, как это показано на рисунках 4.9, 4.10.

Рисунок 4.9 - Энтропийно устойчивые хаотические колебания отклонений угла поворота ротора

Рисунок 4.10 – Фазовый портрет хаотической траектории в системе координат

При анализе режима развитого хаоса в ЭС ГИ, когда получено хаотическое решение системы дифференциальных уравнений (4.11), было обнаружено, что посредством управляющего воздействия на переменные состояния можно локально стабилизировать фазовую траекторию и перейти к симметричным периодическим колебаниям для одного из генераторов. Полностью устранить режим детерминированного хаоса в ЭС ГИ не представляется возможным из-за изменившего свое значение, но оставшегося положительным и, следовательно, изменившегося коэффициента передачи CПОС.

Для конкретизации дальнейших рассуждений предполагается, что управляющие воздействия и представляют своего рода амплитудно-фазовую модуляцию переменной состояния и . В этом случае математическая модель (4.11) ЭС ГИ преобразуется и получается в виде:

(4.12)

При этом параметры ЭС ГИ и начальные условия переменных состояния остаются неизменными. Результаты численного интегрирования системы дифференциальных уравнений (4.12) с заданными параметрами и начальными условиями при управляющих воздействиях и , приведенные на рисунках 4.11, 4.12, указывают на то, что генератор 1 вышел из хаотического режима и колебания , стали симметричными и периодическими. Фазовые портреты решений системы дифференциальных уравнений (4.12) представлены на рисунке 4.13.