Анализ энтропийных моделей режимов электротехнических систем с генерирующими источниками, включая режимы детерминированного хаоса (стр. 6 )

С учётом (1.34) уравнение (1.35) имеет вид

. (1.36)

Выражение (1.36) получено перестановкой операций дифференцирования и интегрирования, а также суммирования и интегрирования. Обозначим

, (1.37)

тогда

. (1.38)

Ограничения, зависящие только от p(x,tj), влияют на нормировочный множитель, поскольку при этом есть величина постоянная, а ограничения, зависящие от x(tj) и p(x,tj) совместно, влияют на структуру показателя экспоненты в выражении (1.38).

Множители Лагранжа ad, , находятся путем подстановки (1.38) в ограничения (1.32) и решения полученной таким образом системы из m уравнений относительно ad, причем те as, , которые связаны с ограничениями, зависящими только от p(x,tj), искать не надо. Все as формируют нормировочный множитель A, который определяется из условия нормировки. Окончательно p(x,tj) имеет вид [21]

. (1.39)

По мере того как какое-либо ограничение становится все менее относящимся к делу в сравнении с другими ограничениями, его множитель Лагранжа стремится к нулю, внося все меньший вклад в структуру p(x,tj). Детальная оценка p(x,tj) по ПМЭ определяется не количеством имеющихся у нас ограничений (отсчетов их в моменты tj), а эффективным количеством логически независимых фрагментов информации, содержащихся в них.

Для определения максимальной энтропии Hmax подставим (1.39) в выражение (1.33)

, (1.40)

где M – операция математического ожидания.

Полученная формула (1.40) указывает на то, что весьма важным ограничением является такое, без которого предсказания существенно изменились бы, соответствующий ему ad будет большим и его присутствие значительно снижает энтропию H(x) (если его не будет, H(x) значительно возросла бы). Таким образом, множители Лагранжа ad в аппарате ПМЭ имеют глубокий смысл: ad является «потенциалом» значений Fjd(x,tj), который оценивает, насколько важное ограничение представляет это значение. Избыточные ограничения имеют нулевой «потенциал» и поэтому не оставляют следов в p(x,tj) и предсказаниях, которые делаются по p(x,tj). Любое избыточное ограничение выпадает автоматически, так как в вариационной задаче добавление избыточного ограничения не может изменить решения [11].

Если ограничения, накладываемые на p(x,tj), x(tj), не меняются во времени, что соответствует маломеняющемуся суточному графику нагрузки, то p(x,tj) есть стационарная плотность вероятностей x(tj). Если ограничения, накладываемые на p(x,tj) и x(tj), меняются во времени в широких пределах, то p(x,tj) есть нестационарная плотность вероятностей x(tj). При этом структура ограничений влияет на формирование структуры p(x,tj). Естественно, что с течением времени структура ограничений может претерпевать изменения, поэтому и структура p(x,tj) также может изменяться. Для примера можно сослаться на [56], в которой показано, как ПМЭ построил нормальную форму распределения вероятностей отклонений напряжения при ограничении на величину их дисперсий.

Итак, распределения вероятностей показателей качества режимов функционирования ЭС ГИ, полученные на базе ПМЭ, являются надежными из всего множества распределений вероятности. Другими словами, использование в энтропийном анализе режимов ЭС ГИ распределений вероятностей с максимальной энтропией есть оптимальная стратегия.

1.5 Энтропийный анализ режимов детерминированного хаоса

Основным свойством ЭС ГИ, демонстрирующих режим детерминирован-ного хаоса, является высокая чувствительность режима функционирования к сколь угодно малым изменениям начальных условий. Именно это обстоятельство ведет по сути дела к потере детерминированной предсказуемости и необходимости вводить вероятностные характеристики для описания динамики таких систем. В этом смысле становится понятным термин «детерминированный хаос», который характеризует рождение случайного, непредсказуемого поведения ЭС ГИ, которое управляется детерминированными законами [4].

Таким образом, в неустойчивых режимах ЭС ГИ можно однозначно предсказать будущее состояние только в случае строгого задания начальных условий. Однако, если учесть сколь угодно малую, но конечную ошибку, то детерминированное предсказание становится невозможным. Малая область первоначальной неопределенности (энтропии) размывается на конечную область в фазовом пространстве.

Математическим образом режима функционирования ЭС ГИ служит аттрактор – предельное множество траекторий в фазовом пространстве системы, к которому стремятся все траектории из некоторой окрестности этого множества. Режим детерминированного хаоса тоже аттрактор в смысле определения предельного множества траекторий в ограниченной области фазового пространства. Однако такой аттрактор имеет два существенных отличия: траектория такого аттрактора непериодическая (она не замыкается) и режим функционирования неустойчив (малые отклонения нарастают). Именно эти отличия и привели к необходимости ввести в рассмотрение новый термин – странный аттрактор. Неустойчивость странного аттрактора обязана быть экспоненциальной. Это означает, что малое возмущение режима D(0) должно во времени увеличиваться по экспоненте [26]

D(t)= D(0) elt, (1.41)

, (1.42)

где l — показатель Ляпунова.

Если установлено, что исследуемый режим имеет положительный показатель Ляпунова l > 0, то следствием будут непериодичность любой из координат состояния, сплошной спектр мощности (в спектре колебаний присутствуют все частоты из некоторого интервала) и ниспадающие во времени корреляционные функции.

1.5.1 Идентификация хаотических режимов функционирования

Бифуркации в хаотических режимах сопровождаются изменениями размерности фазового пространства и с физической точки зрения соответствуют вовлечению в колебательный процесс новых степеней свободы. Описание условий бифуркации подразумевает точный способ описания точки бифуркации, в которой изменение параметра приводит к потере устойчивости. В точке бифуркации существование и единственность решений не обеспечивается и происходит изменение числа решений.

В основном были классифицированы следующие неустойчивости состояний в дифференциально-алгебраической модели ЭС ГИ [71]:

(1) Тип I – рабочий режим, при котором переменные состояния и параметры ЭС ГИ ограничены в пределах приемлемых условий работы,

(2) Тип IIA - алгебраическая бифуркация, которая происходит из-за наличия функциональной зависимости, связанной с уравнениями баланса мощностей в ЭС ГИ,

(3) Тип IIS - статическая бифуркация, которая происходит из-за сингулярности эквивалентной матрицы Якоби ЭС ГИ, при условии несингулярности матрицы Якоби электрической сети,

(4) Тип IID - динамическая бифуркация как результат слабо затухающих или неустойчивых колебаний,

(5) Тип III – проблема каскадной неустойчивости из-за неточной согласованности регулировок ЭС ГИ, таких как распределительные устройства, батареи статических конденсаторов и нагрузки, включающей асинхронные двигатели.

Вышеупомянутые общие типы бифуркации и устойчивости определяются на примере ЭС ГИ, показанной на рисунке 1.4.

1. Генерирующий источник (генератор),

2. Нагрузка,

3. Устройство возбуждения,

4. Датчик напряжения,

5. Система управления скоростью турбины,

6. Устройство автоматического регулирования возбуждения,

7. Линия связи

Рисунок 1.4 – Генерирующий источник и его системы управления [44]

Динамика ЭС ГИ характеризуется двумя типами уравнений:

– дифференциальные уравнения движения ротора, дифференциальные уравнения электрических контуров статора и ротора и их систем управления,

– алгебраические уравнения баланса активной и реактивной мощности на выводах шин генератора, на шинах высокого напряжения обмотки трансформатора и на шинах нагрузки.

Следовательно, такая динамическая модель ЭС ГИ и ее матрица Якоби в точке равновесия может быть представлена следующим образом [61]

(1.43)

(1.44)

где х – М - вектор независимых переменных динамического режима генераторов и систем управления,

у – N - вектор зависимых переменных электрической сети, то есть, напряжения и угла на каждой шине вывода генератора , на шине повышающей обмотки трансформатора и на шине нагрузки ,