Анализ энтропийных моделей режимов электротехнических систем с генерирующими источниками, включая режимы детерминированного хаоса (стр. 11 )

В установившемся состоянии соответствующие статистические характеристики функций чувствительности также определяются выражениями (2.38), (2.39), но при .

Вероятностное описание чувствительности с большей точностью выявляет область изменения параметров ЭС ГИ, при которой переменные состояния выходят за допустимые пределы. Отклонение i-ой переменной состояния от её номинального значения определяется как

, (2.40)

где Dqj – изменение j-го параметра.

Тогда в качестве энтропийного аналога выражения (2.40) можно выбрать функционал

. (2.41)

Выражение (2.41) определяет квадрат наибольшего отклонения i-й переменной состояния при существующих изменениях параметров Dqj и Dql. Величина D(zij), также знак и величина С(zij zdl) оказывают наибольшее влияние на величину Li.

Если известно предельное отклонение от номинального значения i-й переменной состояния ai, то необходимо, чтобы

. (2.42)

Итак, можно заключить, что исследование чувствительности в окрестности бифуркационных значений параметров является исходным пунктом для анализа энтропийной устойчивости ЭС ГИ.

2.5.2 Формирование устойчивых структур плотностей вероятностей в пространстве состояний

Энтропийная модель ЭС ГИ характеризуется текущей плотностью вероятности p(x, t) переменных состояния X=(x1,…,xn) при заданной совокупности параметров R=(q1,…,qm). Эволюции во времени ЭС ГИ соответствуют деформации p(x, t), смещение её максимумов и минимумов, отвечающих наиболее вероятным и наименее вероятным состояниям, и стремление к некоторой асимптотической стационарной плотности вероятности p(x, tgT)=p(x), где [0,Т] – временной интервал рассмотрения случайных процессов. Функцию p(x) можно представить вероятностной поверхностью в пространстве состояний и параметров.

Фазовые портреты структурных неустойчивостей вероятностной поверхности соответствуют локальным экстремумам или точкам перегиба p(x, tgT) и при определённых изменениях параметров R приводят к резким изменениям локального поведения вероятностной поверхности вблизи наиболее вероятностных состояний ЭС ГИ [46]. Резкие изменения формы вероятностной поверхности вблизи наиболее вероятных состояний соответствуют в свою очередь резким качественным изменениям в эволюции ЭС ГИ [48].

В соответствии с принятой моделью эволюция плотности вероятности переменных состояния будет задана уравнением

. (2.43)

Решение уравнения (2.43) должно удовлетворять начальным и граничным условиям

.

Проследим за эволюцией некоторого возмущения во времени численно-аналитическим методом в соответствии с уравнением (2.43). Численный анализ показывает, что при В*=0,6 возмущения прекращаются и восстанавливается стационарное состояние. Наоборот, при В*=2,1 возмущения усиливаются, и стационарное состояние, которое принадлежит области 2, является неустойчивым. При этом уравнение (2.43) интегрировалось при стационарном значении. Это объясняется тем, что является всегда устойчивой конфигурацией, и тем, что при A>1 профиль p(x, t) очень быстро релаксирует к [52].

Следующим этапом является исследование фазовых портретов и устойчивости профилей p(x, t) (рисунок 2.3). Можно выделить три области:

а) области энтропийной устойчивости 1, флуктуации состояний затухают во времени,

б) область энтропийной неустойчивости 2, стационарные состояния неустойчивы, в этой области флуктуации монотонно возрастают,

в) вторая область энтропийной неустойчивости 3, где флуктуации усиливаются и в то же время претерпевают колебания

Рисунок 2.3а – Фазовые портреты и вероятностное распределение в пространстве переменных состояния для характеристической стадии а эволюции ЭС ГИ [44]

Рисунок 2.3б – Фазовые портреты и вероятностное распределение в пространстве переменных состояния для характеристической стадии б эволюции ЭС ГИ[44]

Рисунок 2.3в – Фазовые портреты и вероятностное распределение в пространстве переменных состояния для характеристической стадии в эволюции ЭС ГИ [44]

Численно-аналитический метод, использующий алгоритм раздела 2.3, позволяет получить спектрограмму энтропии как непериодической функции времени и показать, что достигается энтропийно устойчивое стационарное состояние ЭС ГИ, которое представлено на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4 Спектрограмма энтропии устойчивой структуры, локализованной в фазовом пространстве для математической модели (2.68)

Новым важным свойством является то, что энтропийно устойчивая структура локализована в пространстве состояний. Энтропийно устойчивая структура ведет себя так, как будто в зависимости от величины параметров В и А она определяет свои собственные границы, отличные от границ, соответствующих точкам x=-x0, x=x0.

Следует ожидать, что локализация является энтропийным механизмом стабилизации переменных состояния по отношению к внезапным возмущениям. Наличие порогов и четкая локализация в пространстве состояний плотностей вероятностей переменных состояния являются эффективным средством осуществления регуляторных функций. Устойчивые локализованные структуры «консервируют» энтропию и показатели качества функционирования ЭС ГИ в некотором интервале возможных значений.

2.6 Выводы

1. Анализ решения уравнения диффузии для плотностей вероятностей р(x, t) переменных состояния показывает, что эволюция р(x, t) происходит как по «быстрой шкале» времени, связанной с обратной релаксацией к локальному максимуму после возмущения, так и по «медленной шкале» времени, связанной с переходом к глобальному максимуму. Такая эволюция р(x, t) соответствует максимизации текущей энтропии ЭС ГИ.

2. Анализ решения уравнения Риккати для изменяющейся во времени нормированной матрицы корреляционны моментов переменных состояния позволяет отыскать критерии энтропийной устойчивости режимов функционирования ЭС ГИ.

3. Вторая вариации d2Н текущей энтропии как аналог функции Ляпунова позволяет для режимов функционирования ЭС ГИ определить класс плотностей вероятностей р(x, t) переменных состояния, обладающих энтропийной устойчивостью.

4. Энтропийно устойчивые плотности вероятностей р(x, t) переменных состояния локализуются в пространстве состояний с наличием непреодолимых порогов локализации, что является эффективным средством «консервации» текущей энтропии и показателей качества функционирования ЭС ГИ в некотором интервале возможных значений.

ГЛАВА 3. ЭНТРОПИЙНЫЕ МОДЕЛИ РЕЖИМОВ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ГЕНЕРИРУЮЩИМИ ИСТОЧНИКАМИ

3.1 Текущая энтропия и энергетическая спектральная плотность случайных и хаотических процессов как эквивалентные количественные меры неопределённости в задачах моделирования режимов функционирования

Проблема анализа случайных и хаотических режимов связана с различными видами неопределённости. Такое положение следует считать объективно сложившимся, поскольку иногда невозможно, а иногда нецелесообразно получать достаточные объёмы достоверных данных. Уникальность решения задач в условиях неопределённости состоит в том, что приходится преодолевать трудности концептуального характера – в этом и сложность, и привлекательность проблемы неопределённости.

В работах [12, 22] выделяются два возможных подхода к решению задач в условиях неопределённости. В первом подходе получают хотя бы теоретически точное решение при фиксированных значениях неопределённых факторов, а затем оценивают устойчивость полученного решения при колебаниях неопределённых факторов, проводя многовариантные расчеты. Снятие неопределённости тем или иным образом происходит при введении соответствующих гипотез, гарантирующих получение точного решения. Второй подход (о целесообразности ориентации на который указывается в [21, 44]) предполагает обнаружение механизмов влияния факторов неопределённости на всех этапах пути к решению задач энтропийной устойчивости ЭС ГИ.

Концепция по проблеме учёта факторов неопределённости в задачах моделирования энтропийной устойчивости ЭС ГИ подробно освещена в [33, 70]. Суть концепции заключается в том, что ключевую роль в разработке методики определения вида и параметров распределения вероятностей переменных состояния и учёта фактора неопределённости должна играть текущая энтропии состояния.

Энтропийные модели в задачах моделирования и оптимизации ЭС ГИ включают в себя не только распределение вероятностей переменных состояния, но и ограничение на энергетические ресурсы системы, включая должное качество энергетических ресурсов, в том числе и электрической энергии, что позволяет им выдерживать конкуренцию с моделями учёта неопределённости других типов [35].