Лекции по курсу «Вычислительный эксперимент в физике плазмы» (стр. 10 )

, , , (4.26)

где – начальная плотность плазмы, – плазменная частота в невозмущенной плазме.

Пространственный шаг будем выражать в единицах дебаевской длины:

,

где , – тепловая скорость электронов. Временной шаг выразим через

.

Значения параметров и определяются характерными масштабами исследуемых процессов в плазме. При анализе плазменных колебаний обычно выбирают , .

Запишем основные уравнения алгоритма PIC-CIC-моделирования электронных плазменных колебаний в таких безразмерных переменных. Будем считать, что ионы формируют положительный неподвижный фон.

1) Вычисление распределения плотности заряда

Выражения для безразмерной плотности заряда в момент времени в узле пространственной сетки можно представить в виде

,

, (4.27)

где – количество заряда в единицах в узле в момент времени , – начальное число частиц в ячейке, определено в пункте 4.2.

2) Вычисление самосогласованного электрического поля

Разностное уравнение Пуассона в безразмерных переменных совпадает по форме с уравнением (4.5)

. (4.28)

Поэтому все соотношения параграфов 4.3 – 4.5, относящиеся к вычислению потенциала сохраняют свой вид при замене на и на . Выражения для напряженности электрического поля принимают вид

,

. (4.29)

3) Продвижение частиц на очередном временном шаге

Формулы метода с перешагиванием для электронов (4.24), (4.25) принимают в безразмерных переменных особенно простой вид:

, (4.30)

. (4.31)

Первый шаг по методу Эйлера производится по формуле

. (4.32)

При выполнении продвижения частиц по формулам (4.30) – (4.32) необходимо в зависимости от граничных условий производить изменение координат и скоростей при выходе частицы за границы моделируемого отрезка . Если, например, используются отражательные граничные условия, то эти изменения производятся по формулам

для ,

для , (4.33)

.

При использовании периодических граничных условий координаты и скорости вышедших за пределы системы частиц изменяются следующим образом

для ,

для , (4.34)

.

Выражения (4.34) соответствуют тому, что взамен вышедшей частицы с противоположной стороны вводится частица с такой же скоростью.

4) Вычисление энергии плазмы

С учетом выражений (4.26) легко показать, что энергия электрического поля и полная энергия частиц плазмы равны соответственно:

, (4.35)

, (4.36)

где . Удобно для вычисления в программе моделирования выразить полную энергию плазмы в единицах :

. (4.37)

Интеграл в формуле (4.37) можно вычислить, например, по методу Симпсона [5, стр. 217], используя значения в узлах пространственной сетки. Для того чтобы величины и брались в один момент времени, можно, например, определить как среднее значение между скоростями в соседних точках схемы с перешагиванием:

. (4.38)

Вычисление энергии плазмы является важным элементом диагностики в моделировании по методу частиц в ячейке. В частности, при отсутствии внешнего воздействия и сохранении числа частиц по сохранению полной энергии можно судить о точности используемой численной схемы.

4.9. Общая структура программы одномерного PIC-моделирования

На рисунках 4.7, 4.8 приведена блок-схема программы одномерного моделирования плазмы с помощью PIC-метода.

1) Входные параметры PIC-моделирования

– начальное число частиц в ячейке;

– число ячеек;

– пространственный шаг в единицах ;

 

Продвижение частиц на 1-м временном шаге по методу Эйлера

 

Изменение X и V для вышедших частиц

да

 

нет