Лекции по курсу «Вычислительный эксперимент в физике плазмы» (стр. 5 )

ортогональные полиномы Эрмита степени , удовлетворяющие рекуррентным формулам:

, (3.10)

. (3.11)

Электрическое поле разложим в ряд Фурье

.

Коэффициенты Фурье находим из уравнения Пуассона (3.7)

при , .

В случае плазмы между зеркально отражающими границами выполняются соотношения

,

, (3.12)

если они налагаются в момент . Из (3.12) вытекают равенства

(3.13)

С помощью (3.10), (3.11) и (3.13) приходим к дифференциальным уравнениям для коэффициентов

, (3.14)

. (3.15)

Если задать некоторое начальное распределение , то можно найти значения , а затем с помощью подходящего численного метода решить систему уравнений (3.14), (3.15), предварительно оборвав ее, считая, что

при или .

Такое обрывание оправдано тем, что в каждом конкретном случае всегда есть некоторый минимальный масштаб возмущений в системе и соответствующие Фурье-моды при

будут стремиться к нулю.

Метод преобразований является весьма эффективным при исследовании одномерных электростатических плазменных систем. Обобщение метода на многомерный случай приводит к слишком громоздким уравнениям для коэффициентов разложения, что делает его практически непригодным для использования.

3.3. Метод «водяного мешка»

Существует достаточно простой метод решения [2,3] системы уравнений (1.6), (1.7), основанный на свойствах уравнения Власова. Это так называемый метод «водяного мешка». Можно считать бесстолкновительную плазму «фазовой жидкостью» в фазовом пространстве с плотностью . Рассмотрим свойства некоторого фазового объема такой жидкости, движущегося вместе с ней в соответствии с уравнением Власова и уравнением Пуассона. Ни одна частица вблизи границы такого объема не может ее пересечь, так как сама граница движется в фазовом пространстве согласно уравнениям движения частиц. Это означает, что количество частиц в объеме остается постоянным.

Покажем теперь, что величина выделенного фазового объема также остается постоянной. В каждый момент времени величину можно представить в виде (рис. 3.2):

,

где – радиус-вектор точек на границе фазового объема, – элемент длины, касательный к граничному контуру.

Рис. 3.2

За малый промежуток времени фазовый объем изменится на величину [2, стр. 263]:

.

В соответствии с уравнениями движения частиц

.

Следовательно,

.

Последнее равенство следует из закона сохранения энергии для материальной точки в потенциальном поле.

Таким образом, величина фазового объема, перемещающегося вместе с фазовой средой, не изменяется со временем. Следовательно, можно считать фазовую среду несжимаемой. Это свойство аналогично поведению кожаного мешка с водой, используемого в жарких странах при длительных переходах на верблюдах в пустыне. Из-за несжимаемости воды мешок лишь изменяет свою форму, сохраняя объем. Отсюда и происходит название известного метода решения уравнения Власова.

Рассмотренные выше свойства фазового объема позволяют представить фазовую плотность в виде набора контуров в двухмерном пространстве . В областях между контурами ,… функция распределения полагается равной некоторым константам ,… Внутри контуров плотность фазовой жидкости остается неизменной и распределение по скорости в каждой точке имеет ступенчатый вид. На рисунке 3.3 представлен пример построения при . Форма яконтуров изменяется при движении точек на них согласно уравнениям движения. Каждый контур должен быть определен с помощью конечного набора лежащих на нем точек , положение которых определяется путем численного решения уравнений (1.8), (1.9). При деформации контуров со временем первоначально равноотстоящие точки могут сгущаться и разрежаться на каждом контуре.

Рис. 3.3

При этом сами контуры через какое-то время приобретают очень сложный и запутанный вид. Приходится постоянно перераспределять частицы на них для обеспечения равномерного их представления, а также исключать мелкие петли, узлы и т. п. Несмотря на эти недостатки метод «водяного мешка» позволил смоделировать очень большое число одномерных электростатических проблем в бесстолкновительной плазме. На рисунке 3.4 [4, стр. 226] представлены результаты моделирования с помощью этого метода так называемой двухпотоковой неустойчивости. В начальный момент электроны формируют два потока, движущиеся в противоположных направлениях. При этом их распределение на фазовой плоскости имеет вид двух симметричных параллельных полос. Неустойчивость в такой системе приводит к нарастающим колебаниям электрического поля и захвату резонансных частиц.

Рис. 3.4

На рисунке видно, что профиль контуров со временем сильно усложняется и происходит образование нитевидных структур в фазовом пространстве, о которых говорилось в разделе 3.1.

3.4. Численное решение уравнения Власова

Можно непосредственно применить разностные методы для решения уравнения Власова (3.6). Для этого его удобно представить в виде:

, (3.16)

где , .

Уравнение (3.16) для заданного является гиперболическим уравнением в консервативной форме и его можно решить, например, двухшаговым методом Лакса-Вендроффа [3, стр. 262]. Пусть , , . Единичной ячейкой конечно-разностной сетки будем считать ячейку со сторонами , , . Промежуточные величины будем вычислять по формулам