Лекции по курсу «Вычислительный эксперимент в физике плазмы» (стр. 18 )

Для уменьшения нарастания шума может быть использован метод Бориса. Плотность тока вычисляется, как описано выше. Затем рассчитывается поправка к J, которая является чисто продольной и такой, что подправленная плотность тока J удовлетворяет уравнению непрерывности. Использование этого тока для пересчета Е обеспечивает выполнение уравнения Пуассона. Указанная поправка к J имеет вид , где [1, стр. 358]

.

Этот алгоритм центрирован по времени и поэтому имеет второй порядок точности. Отметим, что разностная аппроксимация лапласиана, согласованная с операторами градиента и дивергенции, представляет собой просто пятиточечный оператор .

С вычислительной точки зрения Е удобнее пересчитывать, используя неподправленное значение J, а впоследствии скорректировать Е на величину , где или [1, стр. 358]

. (8.13)

Эта, на первый взгляд, асимметричная процедура приводит к точно таким же окончательным выражениям для полей, что и предыдущий, более явно центрированный по времени алгоритм.

Электрическое поле в месте нахождения частицы можно получить путем интерполяции по полевой сетке. Наиболее очевидным является раздельная интерполяция по каждой из трех совокупностей узлов, показанных на рисунке 8.5, как и делалось в некоторых ранних программах. Однако для программы движения частиц это неудобно. Поскольку она занимает большую часть времени вычислений, в более поздних программах поля заранее переопределяются на единственной совокупности сеточных узлов. Это можно сделать просто усреднением по пространству сеточных значений . Имеются и другие преимущества: продольная составляющая теперь такая же, как и в консервативных по импульсу электростатических программах, а дополнительное сглаживание уменьшает коротковолновый шум. Упрощается также диагностика результатов вычислений. Такие же преимущества можно получить и в программе, использующей и , если только изменить разностную аппроксимацию в процедуре определения и по и .

После интегрирования уравнений движения частиц значения полей на полевой сетке могли бы быть восстановлены путем дальнейшего усреднения по пространству. Однако это привело бы к недопустимо быстрому для наших приложений затуханию электромагнитных волн. Борис отметил [1, стр. 348] что, например, первоначальное значение можно легко восстановить по усредненному , если перед усреднением запомнить значения на одной стороне слоя. Простейшая процедура для состоит вначале в «разусреднении» по х вместе с , а потом по у вместе с . Таким способом мы можем переопределить поля на общей сетке и восстановить их значения без заметного повышения требований к памяти компьютера.

Так же как и при переопределении полевых сеток, удобно задать J посредством взвешивания по области на единственной совокупности сеточных узлов, расположенных в нашем случае вместе с , а затем усреднить по пространству с тем, чтобы получить нужные для интегрирования уравнений поля значения в точках, показанных на рисунке 8.5.

В ряде задач для полей необходимо использовать более мелкие временные шаги, чем для частиц. Если рассматривать разумный набор параметров для некоторых задач, в которых , дебаевская длина и тепловая скорость , то . Величина этого временного шага во многих приложениях меньше, чем требуется для интегрирования уравнений движения частиц. Поскольку это дорогостоящая процедура, то выгодно частицы пересчитывать реже полей. Для того чтобы пояснить это и подвести итог сказанному в этом разделе, опишем в общих чертах действия, проводимые на одном временном шаге интегрирования уравнений движения частиц для случая, когда поля пересчитываются в два раза чаще [1, стр. 359]. Верхний индекс n обозначает номер временного слоя для частиц.

Начинаем с , , и .

0.  Усредняем поля на сетке для частиц.

1.  Пересчитываем на , на ; образуем и .

2.  Усредняем на полевой сетке. Восстанавливаем и на полевой сетке.

3.  Пересчитываем на .

4.  Пересчитываем на , используя .

5.  Пересчитываем на .

6.  Пересчитываем на , используя .

7.  Пересчитываем на .

8.  Подправляем , используя .

Проверяя центрирование по времени, заметим, что третий и седьмой, а также четвертый и шестой шаги симметричны. На продольную составляющую влияет только , поэтому несущественно, сколько используется дробных временных шагов для полей, чтобы добраться до n+1-го слоя. Следовательно, доводы, приведенные ранее в обоснование того, что поправка к дивергенции фактически не затрагивает центрирования по времени, остаются в силе.

8.5. Граничные условия

Как и с электростатическими программами, можно провести много интересных исследований, моделируя систему, периодическую по х и у. Принципиальных проблем, связанных с граничными условиями, в этом случае нет, за некоторыми исключениями. Граничные условия на свободной границе определяются спецификой конкретной задачи.

Граничные условия для частиц. При периодических граничных условиях, когда координата y частицы после ее пересчета превышает Ly , то из координаты частицы просто вычитается Ly. И наоборот, если пересчитанное значение y меньше нуля, тогда прибавляем Ly. Иными словами, частица, покинувшая плазму, на правой границе появляется на левой границе с тем же значением импульса.