Лекции по курсу «Вычислительный эксперимент в физике плазмы» (стр. 3 )

В отличие от метода молекулярной динамики, в вычислительной модели вихревой жидкости роль частиц играют элементы жидкости, которые описываются пространственными координатами и завихренностью. Пространственные и временные масштабы в такой модели определяются физическими свойствами исследуемого потока жидкости. Эти масштабы должны быть значительно больше характерных масштабов в методе молекулярной динамики, так как при изменении гидродинамических параметров происходит много столкновений большого числа молекул.

Во многих физических системах движение частиц определяется не взаимодействием с ближайшими соседями, а величиной коллективного самосогласованного поля всего ансамбля. К таким системам можно отнести бесстолкновительную плазму, пучки заряженных частиц, галактики. Для их моделирования используют метод частиц в ячейке, в котором коллективное поле вычисляется в узлах пространственной сетки. Для продвижения частиц на каждом временном шаге значения поля в нужных точках находятся посредством интерполяции. Этот метод получил наибольшее распространение в связи с исследованиями по проблеме управляемого термоядерного синтеза.

2.2. Моделирование реального газа по методу молекулярной динамики

В методе молекулярной динамики рассчитывается движение N молекул, попарно взаимодействующих друг с другом в некотором объеме V. Для описания такого взаимодействия можно использовать, например, модельный потенциал Леннарда – Джонса

,

где – расстояние между центрами двух взаимодействующих молекул, и – параметры, определяемые их конкретными свойствами. Потенциал такого вида с хорошей точностью описывает силы отталкивания между молекулами при и силы притяжения при . При заданном виде потенциала взаимодействия уравнения движения молекулы массы с номером i можно представить в виде:

,

.

Уравнения движения для всех молекул интегрируются численно и производится усреднение термодинамических величин по частицам и по моментам времени , в которых находится решение. Например, внутренняя энергия газа, приходящаяся на одну частицу, может быть вычислена с помощью следующего усреднения [1, стр. 177]

,

где – число шагов по времени.

С помощью этого метода можно, например, получить уравнение состояния реального газа, соответствующее конкретному виду потенциала взаимодействия. Метод молекулярной динамики применяется также при исследовании фазовых переходов и неравновесных термодинамических процессов.

2.3. Метод частиц в ячейке для моделирования бесстолкновительной плазмы

Плазму можно считать бесстолкновительной, если характерное время происходящих в ней коллективных процессов намного меньше времени между столкновениями заряженных частиц. Такое условие выполняется для широкого круга плазменных систем. Можно исследовать коллективные процессы в бесстолкновительной плазме, решая численно систему уравнений Власова–Максвелла. В одной из последующих тем мы подробно рассмотрим такой подход. Однако во многих случаях оказывается более удобным использовать метод частиц в ячейке.

Рассмотрим применение этого метода на простейшем примере электростатических колебаний в одномерной плазме. Ионы будем считать неподвижными. Движение электронов описывается уравнениями движения в коллективном поле, созданном самими частицами:

,

,

где – соответственно заряд и масса электрона, – напряженность электрического поля. Кроме коллективного поля , можно учесть влияние некоторого внешнего поля .

Главная идея метода состоит в том, что вместо реального числа частиц в плазме рассматривается намного меньшее число, но с большей массой и большим зарядом. При этом отношение должно оставаться равным его реальному значению. В связи с этим метод частиц в ячейке еще называют методом крупных частиц. Коллективное электрическое поле в узлах разностной сетки находится с помощью численного решения уравнения Пуассона

,

где – плотность заряда электронной компоненты, – плотность заряда однородного ионного фона.

Шаг пространственной сетки обычно выбирается в единицах характерного масштаба изменения электрического поля. Для электростатических колебаний в плазме таким масштабом является так называемая дебаевская длина [1, стр. 190]

, (2.1)

где – температура плазмы, – ее плотность. Через можно выразить условие применимости бесстолкновительного приближения. Оно справедливо, когда внутри шара радиуса находится большое число частиц, то есть

.

Это условие должно выполняться и для частиц в данной схеме моделирования.

Шаг по времени должен иметь порядок характерного временного масштаба плазменных колебаний , где

(2.2)

так называемая плазменная частота [1, стр. 191]. На каждом временном шаге схемы моделирования частицы продвигаются под действием электрического поля согласно уравнениям движения. После этого производится распределение заряда частиц в каждой ячейке по ближайшим узлам и вычисляются новые значения электрического поля. Далее процесс циклически повторяется на большом числе временных шагов. Более подробно соответствующие алгоритмы будут рассмотрены в последующих темах.

2.4. Моделирование галактик

Бесстолкновительная схема аналогичная методу частиц в ячейке для плазмы применяется для моделирования галактик, состоящих из огромного числа звезд (1010 1011), взаимодействующих друг с другом посредством гравитационных сил. Крупные частицы в таком моделировании по массе содержат около 106 звезд. Роль дебаевской длины в галактической системе выполняет величина [1, стр. 193]

,

где – аналог температуры для «газа из звезд», – гравитационная постоянная, – масса звезды, – концентрация звезд в галактике. Аналог плазменной частоты имеет вид [1, стр. 193]

.

Коллективное гравитационное поле определяется из уравнения Пуассона для гравитационного потенциала

,

где – массовая плотность галактики.

С помощью метода частиц в ячейке было проведено большое число численных экспериментов для галактик в двумерной модели. В этих расчетах звезды в начальный момент заполняли с однородной плотностью цилиндр с характерными размерами галактики. Им сообщалась начальная угловая скорость, равная половине значения, при котором гравитационные силы уравновешиваются центробежными. В процессе моделирования возникали спиральные структуры, близкие по виду тем, которые известны из астрономических наблюдений.

2.5. Метод частиц для моделирования течения несжимаемой жидкости