Лекции по курсу «Вычислительный эксперимент в физике плазмы» (стр. 7 )

Рис. 4.2

В CIC-методе необходимо определить процедуру вычисления распределения плотности заряда в плазме, а также вычисления электрического поля, действующего на облако. Простейшим методом вычисления плотности заряда является разделение заряда облака по нескольким узлам сетки согласно процедуре «весового распределения по площадям» («area-weighted»). Следуя этой процедуре, мы определяем вклад каждой частицы в ближайшие узлы пространственной сетки пропорционально частям облака слева и справа от середины ячейки. На рис. 4.3 изображена сеточная плотность при прохождении прямоугольного облака ширины через узел .

Рис. 4.3

При таком распределении для облака с зарядом и с центром в точке , часть заряда , придаваемая -му узлу, определяется формулой

, (4.2)

а часть, придаваемая -му узлу, формулой

. (4.3)

Можно сказать, что формулы (4.2), (4.3) определяют процедуру взвешивания первого порядка в распределении заряда частиц. Следует отметить, что к такому же результату приводит распределение заряда по ближайшим узлам с помощью линейной интерполяции.

Можно проводить взвешивание более высоких порядков с использованием квадратичных и кубичных сплайнов. При этом, естественно, сглаживаются скачки плотности и электрического поля, однако число вычислений в общей схеме PIC-моделирования значительно возрастает. Это происходит еще и по той причине, что, как мы увидим далее, схема вычисления поля в месте нахождения каждой частицы и схема раздачи заряда частиц по узлам сетки должны иметь одинаковый порядок взвешивания.

4.3. Нахождение самосогласованного электрического поля

Самосогласованное электрическое поле будем находить из уравнения Пуассона (3.17) в безразмерных переменных, введенных в параграфе 3.1:

, (4.4)

где – безразмерная плотность заряда в плазме.

Будем численно решать краевую задачу для уравнения (4.4) на отрезке , разбивая его на ячейки с шагом . Соответствующее разностное уравнение имеет вид:

, (4.5)

где , – значения в узлах пространственной сетки, – искомые значения потенциала. Уравнение (4.5) относится ко всем внутренним точкам рассматриваемого отрезка , а в точках , накладываются требуемые граничные условия.

Чтобы продвинуть моделирующие частицы на очередном временном шаге, необходимо знать напряженность поля в точке нахождения каждой из них. В методе NGP сила получается из значения поля в ближайшем узле сетки. В одномерном случае значение можно представить в виде выражения

, .

Этот способ представлен на рисунке 4.4. Он является достаточно грубым и приводит к скачкообразному изменению силы взаимодействия между частицами с изменением расстояния между ними.

Рис. 4.4

В методе облаков в ячейке находится путем взвешивания первого порядка, аналогично распределению заряда в этом методе, описанному в пункте 4.2 (формулы (4.2), (4.3):

. (4.6)

Сила, действующая при этом на каждую частицу, является кусочно-линейной в зависимости от расстояния, а не ступенчатой, как в методе NGP. К тому же снижается амплитуда флуктуаций силы взаимодействия между частицами при их перемещении относительно сетки.

Следует отметить одно важное обстоятельство, касающееся связи между методами распределения заряда и вычисления напряженности поля. Как в методе NGP, так и в методе CIC обе эти процедуры имеют одинаковый порядок взвешивания. Такая симметрия обеспечивает сохранение импульса, так как две частицы при этом действуют друг на друга с одинаковыми по величине и противоположными по направлению силами, а сила действия на частицу ее собственного поля равна нулю.

При моделировании электростатических колебаний в бесстолкновительной плазме используют либо периодические, либо непериодические граничные условия. С помощью периодических граничных условий обычно моделируют неограниченные плазменные системы. Тип граничных условий определяет метод решения уравнения Пуассона.

4.4. Метод прогонки для решения уравнения Пуассона

с непериодическими граничными условиями

В общем виде непериодические граничные условия можно представить в следующей форме

, , (4.7)

где – заданные числа. Например, если , то заданы значения потенциала в крайних точках. Если , то заданы значения электрического поля .

Рассмотрим метод прогонки решения краевой задачи для решения разностного уравнения Пуассона (4.5) с граничными условиями (4.7). Для представления (4.7) в виде, аналогичном (4.5), будем аппроксимировать производные от потенциала, входящие в эти условия, следующим образом:

, .

Тогда условия (4.7) примут вид:

, (4.8)

, (4.9)

где , , ,

, .

Представим теперь уравнения (4.5) в последовательности узловых точек и уравнения (4.8), (4.9) в виде единой системы разностных уравнений [2, стр. 117]

,

,

,

……………… …… , (4.10)

,

.

Матрица коэффициентов этой системы содержит ненулевые элементы только на трех центральных диагоналях. В силу того что большинство элементов такой трехдиагональной матрицы нулевые, решение системы (4.10) может быть найдено с помощью некоторой рекуррентной процедуры, называемой методом прогонки.

Будем искать решение в рекуррентной форме так, чтобы, зная значение в точке , можно было получить значение в точке . Для этого найдем вспомогательные неизвестные , такие, что