Лекции по курсу «Вычислительный эксперимент в физике плазмы» (стр. 4 )

Рассмотрим двумерное течение несжимаемой жидкости на плоскости . Такое приближение можно использовать для описания таких важных гидродинамических процессов, как движение воздушных потоков вблизи поверхности Земли, океанские течения и т. п. В этом случае движение жидкости описывается завихренностью

и функцией тока , определяемой соотношениями

, .

С помощью уравнений гидродинамики можно показать, что функции и

удовлетворяют уравнениям [1, стр. 291]

,

.

Эта система позволяет рассматривать несжимаемую жидкость как ансамбль частиц-вихрей, движущихся в «поле», связанном с функцией . Поэтому можно построить схему моделирования подобную методу частиц в ячейке для бесстолкновительной плазмы. На плоскости задается разностная сетка, в узлах которой находятся значения . Уравнения движения частиц-вихрей определяются связью между скоростью и функцией тока

,

.

Эти уравнения можно решать численно, определяя на каждом временном шаге значения завихренности в узлах разностной сетки. После этого с помощью уравнения для вычисляются новые значения .

С помощью такой схемы моделирования можно получить важную информацию о неустойчивостях, развивающихся в плоских течениях несжимаемой жидкости. В частности, удается проследить за процессом образования больших вихрей на нелинейной стадии неустойчивости.

Список литературы к теме 2

Использованная литература:

1.  Вычислительные методы в физике. – М.: Мир, 1975.

Рекомендуемая литература:

1.  Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. – М.: Мир, 1987.

2.  Сигов эксперимент: мост между прошлым и будущим физики плазмы. – М.: Физматлит, 2001.

3.  , , Умнов моделирование плазменных процессов. – М.: Изд-во РУДН, 2003.

Тема 3. Модели плазмы, основанные на уравнении Власова

3.1. Уравнение Власова

Поведение частиц плазмы сорта (электроны или ионы) описываются их функцией распределения , которая определяет число частиц в момент времени в элементе фазового объема :

В отсутствие столкновений функция распределения удовлетворяет уравнению Власова [1, стр. 44]

(3.1)

Самосогласованное электромагнитное поле описывается уравнениями Максвелла

, ,

, (3.2)

, , .

Для рассмотрения чисто электростатических самосогласованных процессов используется система уравнений Власова–Пуассона

, (3.3)

. (3.4)

В темах 3 и 4 рассматривается численное моделирование именно таких процессов.

Масса иона намного больше массы электрона . Для самого легкого иона водорода . Поэтому при анализе электронных колебаний обычно ограничиваются приближением неподвижных ионов, которые формируют однородный нейтрализующий фон положительного заряда. В этом случае уравнение Пуассона (3.4) принимает вид:

. (3.5)

Для описания методов моделирования удобно перейти к следующим единицам измерения физических величин

, , , – электронная температура, , .

Здесь – дебаевская длина, – плазменная частота, – тепловая скорость электронов. В таких переменных уравнения (1.3), (1.4) принимают вид:

, (3.6)

. (3.7)

Из уравнения (3.6) следует постоянство функции распределения вдоль траекторий частиц, определяемых уравнениями движения:

, (3.8)

. (3.9)

Эволюция функции распределения приводит к большим значениям производных , , что связано с расхождением фазовых траекторий частиц со временем, приводящим к образованию «нитей» в фазовом пространстве с резкими изменениями . Это легко понять, рассмотрев простейший случай свободных частиц , представленный на рисунке 3.1.

Рис. 3.1

Пусть в начальный момент частицы занимают область в виде квадрата 1 на фазовой плоскости. С течением времени, двигаясь каждая со своей постоянной скоростью, они перейдут в положение 2. Через большой промежуток времени распределение примет вид тонкой нити, вытянутой вдоль оси . При в результате захвата частиц плазменными волнами на фазовой плоскости возникает большое количество закручивающихся нитевидных структур, что сильно затрудняет численное нахождение функции .

3.2. Решение системы уравнений Власова–Пуассона методом преобразований

Метод преобразований основан на разложении решения уравнений Власова и Пуассона по некоторым системам ортогональных функций. В результате получается система нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка для коэффициентов разложения. При этом исчезают трудности с резкими изменениями , возникающие в случае прямого численного решения уравнений (3.6), (3.7).

Разложим функцию распределения в ряд [3, стр. 65]

,

где ,

–