Лекции по курсу «Вычислительный эксперимент в физике плазмы» (стр. 14 )

,

,

где , , , .

Начальные значения скорости для схемы Бориса можно вычислить по методу Эйлера аналогично случаю схемы с перешагиванием, описанной в ппараграфе 4.6.

6.3. Интегрирование уравнений Максвелла методом Доусона

Для решения уравнений Максвелла в одномерном случае удобно использовать алгоритм Доусона, в котором изменение поперечных полей со временем сводится к сдвигу значений на один пространственный шаг и добавлению вклада от тока частиц. Вместо электрического и магнитного поля в алгоритме используются следующие полевые функции [1, стр. 134]:

,

.

Из уравнений Максвелла (6.1), (6.2) следует:

, (6.10)

. (6.11)

Левые части уравнений (6.10), (6.11) являются производными по времени на вакуумных характеристиках . Поэтому их можно интегрировать вдоль этих траекторий, считая, что пространственный шаг и шаг по времени связаны соотношением . В задачах о взаимодействии электромагнитных волн с плазмой удобно выражать и в единицах и соответственно, где и – волновое число и частота волны в вакууме. Поэтому аналогично одномерному электростатическому моделированию можно ввести безразмерные параметры и с помощью соотношений , . В схеме Доусона по определению .

Разностная схема численного решения уравнений (6.10), (6.11) может быть представлена в виде:

, (6.12)

где – номер узла пространственной сетки, – номер шага по времени.

Переходя к безразмерным значениям электромагнитного поля по формулам (6.9), перепишем разностную схему (6.12) в безразмерной форме:

,

где , – безразмерная скорость электронов.

Токовая скорость электронов может быть вычислена различными способами. Лучшие результаты с точки зрения численной устойчивости дает алгоритм Ленгдона, в котором ток усредняется вдоль вакуумной характеристики [1, стр. 134]

,

где – число частиц в ячейке, – полное число частиц, , – координата и проекция скорости i – й частицы на n – м временном шаге, - координатная интерполяционная функция

,

аналогичная функции, использованной в параграфе 4.8 для распределения заряда по пространственным узлам (см. выражения 4.27).

Плотность заряда и продольное поле можно вычислять с помощью методов, описанных в параграфе 4.8.

6.4. Задание поля электромагнитного импульса в вакуумной области

В большинстве случаев задача одномерного электромагнитного моделирования ставится следующим образом. Из вакуумной области на границу плазмы падает электромагнитный импульс (рис. 6.3).

Рис. 6.3

При взаимодействии с плазмой он может частично отражаться, а также возбуждать внутри плазмы различные типы волн, передавать энергию электронам и ионам и т. п.

Рассмотрим импульс в вакууме в виде правополяризованной волны огибающей

,

,

где функция определяет пространственный профиль амплитуды импульса. Тогда в безразмерных переменных, введенных в пункте 6.2, профиль импульса в момент примет вид:

,

,

где , .

Функцию можно, например, задать в виде

.

При она обращается в гауссовское распределение. С ростом параметра функция стремится к профилю «с плоской вершиной», который можно использовать для описания длинных импульсов, близких к монохроматической плоской волне.

Список литературы к теме 6

Использованная литература:

1.  . Физика плазмы и численное моделирование. – М.: Энергоатомиздат, 1989.

Рекомендуемая литература:

1.  Вычислительные методы в физике. Управляемый термоядерный синтез. Под ред. Дж. Киллина. – М.: Мир, 1980.

2.  Сигов эксперимент: мост между прошлым и будущим физики плазмы. – М.: Физматлит, 2001.

3.  , , Умнов моделирование плазменных процессов. – М.: Изд-во РУДН, 2003.

Тема 7. Примеры одномерного электромагнитного моделирования

7.1. Возбуждение кильватерных волн в плазме мощным лазерным импульсом

В последние годы активно развивается направление по использованию коллективных полей в плазме для ускорения заряженных частиц. Такой метод был впервые предложен в работах [1, 2]. Коллективные поля можно возбуждать либо с помощью электронных сгустков, либо под действием мощных ультракоротких лазерных импульсов.

При распространении мощного короткого лазерного импульса в плазме электроны выталкиваются из области его локализации под действием пондеромоторной силы. В результате этого позади импульса возникают колебания плотности заряда и продольного электрического поля. Такую плазменную волну называют кильватерной волной по аналогии с волной позади движущегося корабля. Скорость этой волны совпадает с групповой скоростью лазерного импульса, которая в плазме низкой плотности близка к скорости света. При инжекции пучка электронов в кильватерную волну можно подобрать такие условия, при которых частицы, двигаясь вместе с волной, будут непрерывно ускоряться. Максимальная энергия электронов в таком ускорителе может достигать нескольких сотен МэВ (см. обзор [3]).

В работе [4] с помощью одномерного релятивистского электромагнитного кода было проведено моделирование процесса возбуждения кильватерной волны в плазме коротким мощным лазерным импульсом. Все поля и характеристики плазмы считались зависящими от координаты вдоль направления распространения импульса. Ионы считались неподвижными в силу того, что процесс рассматривался на протяжении нескольких электронных плазменных периодов. Плазма в начальный момент считалась холодной со ступенчатым профилем плотности на границе с вакуумом. На рисунке 7.1 представлен один из результатов моделирования, выполненного с помощью программы, описанной в [5, стр. 59-64].