Лекции по курсу «Вычислительный эксперимент в физике плазмы» (стр. 8 )

. (4.11)

Подставляя (4.11) в (4.5), получаем

. (4.12)

Сравнивая (4.11) и (4.12), приходим к соотношениям

, . (4.13)

Таким образом, формулы (4.12), (4.13) задают следующую двойную рекуррентную процедуру решения трехдиагональной системы уравнений (4.10).

1) Прогонка вниз

Для от до определяются значения , по формулам (4.13). При этом начальные значения , находятся из граничного условия (4.9)

,

.

2) Прогонка вверх

Для от до вычисляются искомые значения по формулам (4.12). Начальное значение определяется из граничного условия на левой границе

.

Входящие в это выражение , найдены при прогонке вниз.

4.5. Метод Фурье для периодических граничных условий

Периодические граничные условия для потенциала на отрезке могут быть записаны как

, . (4.14)

В этом случае искомые значения можно представить в виде конечной суммы Фурье [2, стр. 132]

, (4.15)

где для нечетных и для четных. Такое представление для обеспечивает выполнение условий периодичности (4.14). Если подставить разложение (4.15) в разностное уравнение Пуассона (4.5), то можно получить следующие выражения для коэффициентов Фурье

, , (4.16)

где , а , являются коэффициентами Фурье в разложении плотности заряда

, . (4.17)

Для нечетных возникает «непарный» коэффициент

. (4.18)

Коэффициент при этом равен 0, так как .

Таким образом, можно разбить решение уравнения Пуассона методом Фурье на два этапа.

1) Фурье-анализ

Находим коэффициенты Фурье для значений плотности заряда с помощью формул (4.17), (4.18) и коэффициенты , по формулам (4.16).

2) Фурье-синтез

Вычисляем искомые значения с помощью конечной суммы Фурье (4.15) с найденными коэффициентами , .

В приведенных выше выражениях фигурируют величины типа

, .

Для экономии компьютерного времени их нужно один раз вычислить с помощью рекуррентных тригонометрических формул для последующего многократного использования в программе PIC-моделирования.

Благодаря своей простоте такая схема легко реализуется на компьютере, но является весьма неэкономичной. Она может быть использована при моделировании коротких систем со значениями . При больших такой алгоритм становится неэффективным из-за слишком большого времени вычислений.

Для существенного сокращения расчетного времени обычно используют метод быстрого преобразования Фурье (БПФ или по-английски FFT). В нем с помощью специального выбора значения удается сократить количество вычислительных операций в несколько раз. Если представить в виде большого числа сомножителей, то преобразование ряда из членов циклически сводится к преобразованию нескольких более коротких рядов с кратным числом членов. При этом одновременное вычисление всех коэффициентов Фурье приводит к сокращению числа операций.

Рассмотрим схему быстрого преобразования Фурье для значений некоторой комплексной функции в точках . Ее можно разложить в комплексный ряд Фурье:

, (4.19)

. (4.20)

В случае функции с неограниченным спектром коэффициенты представляют собой суммы амплитуд гармоник (), то есть имеет место наложение частот. Для периодической функции с ограниченным спектром можно выбрать так, чтобы для всех и наложения частот не было.

Поясним идею метода БПФ на примере Фурье-анализа (4.20). Для этого представим , , в виде [3, стр. 86]

, , ,

; .

В этом случае (4.20) преобразуется к виду

. (4.21)

В выражении (4.21) внутренняя сумма при фиксированном описывает независимые разложения Фурье для различных функций, каждая из которых составлена из значений в точках, выбранных с шагом , начиная с точки . Для вычисления каждой внутренней суммы требуется операций, а для всех внутренних сумм – операций. Для вычисления всех внешних сумм необходимо операций. Общее количество операций, выполняемых в выражении (4.21), равно .