Лекции по курсу «Вычислительный эксперимент в физике плазмы» (стр. 6 )

,

а окончательные значения найдем с помощью соотношений

.

Электрическое поле можно найти путем численного интегрирования уравнения Пуассона (3.7), которое для общих граничных условий лучше записать относительно потенциала:

, (3.17)

где , .

Численная аппроксимация уравнения (1.17) имеет вид

.

Приведенный пример разностной схемы решения уравнения Власова и уравнения Пуассона имеет ряд недостатков. Шаги , ограничивают сверху характерные масштабы изменения пространственных и скоростных величин в рассматриваемых процессах. Не учитываются частицы со скоростями выше максимального значения скоростной сетки. Следует отметить, что обобщение разностных схем такого типа на многомерный случай практически не реализуемо из-за огромного числа узловых точек разностной сетки.

Перейдем к рассмотрению более гибкого разностного метода решения уравнения Власова и уравнения Пуассона, основанного на схеме расщепления [5, стр. 24]. Он имеет второй порядок точности по и допускает реализуемое обобщение на случай большого числа измерений.

Метод основан на замене уравнения (3.6) уравнением

на первом полушаге по времени и уравнением

на втором полушаге. Будем пока считать заданной функцией.

Рассмотрим следующую разностную схему, соответствующую такому расщеплению исходного уравнения [5, стр. 25]:

, (3.18)

, (3.19)

. (3.20)

Эти операции соответствуют сдвигу вдоль оси на на первом полушаге , последующему сдвигу на по оси и, наконец, еще одному сдвигу по оси на . Эта процедура циклически повторяется для всех шагов сетки.

Подставляя (3.18) и (3.19) в (3.20), получим

, (3.21)

где .

Выражение (3.21) эквивалентно следующим проинтегрированным уравнениям характеристик (3.8), (3.9) уравнения Власова:

,

, (3.22)

где . В этом легко убедиться, сравнивая аргументы и правых частей (3.22).

Поле вычисляется после первого горизонтального сдвига (3.18). На следующем, вертикальном шаге, координата , а значит плотность заряда и поле не изменяются. Значит поле может быть аппроксимировано значением . Оно берется на полушаге по времени и имеет, по крайней мере, первый порядок точности. С помощью выражений (3.22) можно показать, что данная разностная схема имеет второй порядок точности по [5, стр. 26].

Этот метод был с успехом использован для моделирования релаксации плазменно-пучковой системы и анализа условий применимости квазилинейного приближения [6, стр. 226]. При этом были достигнуты рекордные значения точности по сравнению с другими методами.

Список литературы к теме 3

Использованная литература:

1.  , , Рухадзе электродинамики плазмы. – М.: Высш. школа, 1978.

2.  Вычислительные методы в физике. – М.: Мир, 1975.

3.  Вычислительные методы в физике плазмы. / Под ред. Б. Олдера, С. Фернбаха и М. Ротенберга. – М.: Мир, 1974.

4.  Введение в физику плазмы. – М.: Мир, 1987.

5.  Сигов методы кинетической теории плазмы. – М: Изд-во. МФТИ, 1984.

6.  Сигов эксперимент: мост между прошлым и будущим физики плазмы. – М: Физматлит, 2001.

Рекомендуемая литература:

1.  Федоренко в вычислительную физику. – М: Изд-во МФТИ, 1994.

2.  , , Умнов моделирование плазменных процессов. – М.: Изд-во РУДН, 2003.

Тема 4. Метод частиц в ячейке для описания одномерных электростатических процессов

4.1. Общая схема моделирования

В параграфе 2.3 темы 2 уже обсуждалась общая схема метода частиц в ячейке для моделирования одномерных электростатических процессов в бесстолкновительной плазме. На каждом временном шаге она состоит из трех основных этапов: 1) вычисление по координатам частиц плотности заряда в узлах пространственной сетки; 2) вычисление с помощью плотности заряда значений напряженности электрического поля в узловых точках; 3) продвижение всех частиц под действием этого поля. Эти этапы циклически повторяются на последующих временных шагах. В результате можно проследить за состоянием плазмы в сложных коллективных процессах. Это невозможно сделать с помощью аналитического решения уравнения Власова и уравнения Пуассона. Рассмотрим более подробно основные этапы вычислительного процесса.

4.2. Вычисление распределения плотности заряда

Существует несколько методов вычисления плотности заряда по координатам моделирующих частиц. Самым простым из них является метод «ближайшего пространственного узла» («nearest grid point» или сокращенно NGP) [1, стр. 24].

В этом методе полный заряд точечной частицы приписывается ближайшему узлу пространственной сетки. Для одномерного случая его можно реализовать посредством выражения

, (4.1)

где – начальная плотность реальной плазмы, для которой проводится моделирование, – начальное число моделирующих частиц в ячейке, – полное число частиц, – размер пространственной сетки,

- целая часть вещественного числа .

Эта процедура распределения заряда может быть представлена в виде схемы, изображенной на рисунке 4.1.

Рис. 4.1

Метод NGP является достаточно грубым, так как сила взаимодействия между двумя частицами изменяется скачком при пересечении ими границ ячеек.

Существует схема более плавного распределения заряда по узлам сетки, которая называется методом «облаков в ячейке» («cloud-in-cell» или сокращенно CIC) [1, стр. 25]. В этой схеме частицы представляются «прозрачными» заряженными облаками, способными проходить друг сквозь друга. Они могут иметь любую удобную форму и распределение плотности заряда. Метод облаков сглаживает флуктуации, свойственные методу NGP. Для одномерных облаков плотность заряда в облаке, задаваемая формфактором , может быть постоянной или, например, иметь вид гауссова распределения (рис. 4.2).

Плазма представляется в виде набора перекрывающихся облаков, размещенных на пространственной сетке. При этом их размеры могут быть больше или меньше размеров ячеек. Радиус облаков должен быть достаточно большим, чтобы устранить взаимодействия на близких расстояниях и обеспечить приближение самосогласованного поля. Но он, конечно, должен быть гораздо меньше характерных масштабов возмущений в плазме. Для уменьшения численных флуктуаций желательно выполнение условия . Обычно выбирают . Такое описание процессов в бесстолкновительной плазме является близким к описанию жидкости в гидродинамике в виде суперпозиции «жидких макрочастиц».