Лекции по курсу «Вычислительный эксперимент в физике плазмы» (стр. 9 )

Разлагая на простые множители , получим, что общее число арифметических операций равно . Это намного меньше минимально возможного числа операций для вычисления по формулам (4.20) без разбиения на множители. В частном случае , где – целое число, количество операций равно . При этом выигрыш в числе операций, благодаря методу БПФ, составляет . Он максимален при . Наибольшее количество алгоритмов БПФ составлено для случая .

Аналогичным образом можно произвести БПФ для периодических вещественных функций. В этом случае он становится несколько сложнее. Если большинство значений функций в узловых точках равны нулю, то можно ускорить БПФ с помощью исключения лишних операций. Мы рассмотрели только процедуру Фурье-анализа. Фурье-синтез (4.19) производится идентичным образом.

4.6. Продвижение частиц на очередном временном шаге

На каждом временном шаге моделирующие частицы продвигаются в соответствии с их уравнениями движения в самосогласованном поле:

, (4.22)

, . (4.23)

Для численного решения уравнений (4.22), (4.23) в схемах PIC-моделирования обычно используется метод «с перешагиванием» [2, стр. 195]

, (4.24)

. (4.25)

Ее можно представить в виде схемы, изображенной на рисунке 4.5. Значения и вычисляются в точках и путем перешагивания через предыдущие временные точки и . Шаги по времени для и смещены на величину . Промежуточные значения одной из переменных используются для продвижения другой переменной на шаг .

Рис. 4.5

Схема имеет второй порядок точности по , но содержит гораздо меньше вычислительных операций по сравнению с другими схемами такого порядка точности (например, с методом Рунге–Кутты). Этот факт является определяющим при ее выборе для использования в PIC-методе.

Для выполнения первого шага приходится применять какой-либо другой метод, так как начальные значения , заданы в один и тот же момент времени. Можно, например, найти координаты частиц в момент по методу Эйлера [2, стр. 45]

.

Если с помощью значения применить метод Эйлера для вычисления , то процесс схемы с перешагиванием нужно начинать с этой точки.

4.7. Формирование начального распределения частиц на фазовой плоскости

Для начала вычислительного процесса в PIC-моделировании необходимо задать значения координат и скоростей всех частиц в соответствии с некоторым выбранным начальным распределением. Существуют два основных подхода к построению алгоритма формирования начального распределения [4, стр. 40].

1) Хаотический старт

Координаты и скорости частиц задаются с использованием датчиков случайных чисел. В простейшем случае значения соответствуют в среднем однородному распределению в интервале , а значения формируют распределение, задаваемое некоторой функцией (например, максвелловской). Для этого можно использовать генератор случайных чисел, равномерно распределенных между 0 и 1. Следует задать как функцию таким образом, что если определяется по формуле с помощью последовательности случайных чисел , то скорости будут распределены согласно . Это означает, что

, .

Если, например, является максвелловской функцией, то функция имеет вид, представленный на рисунке 4.6. Для каждого значения путем решения уравнения можно найти значение . Эти значения будут распределены в соответствии с .

Рис. 4.6

Хаотический старт приводит к довольно сильному начальному шуму в распределении заряда и искажению равновесного спектра колебаний в длинноволновой области.

2) Спокойный старт

Этот метод обеспечивает подавление начальных шумов и длинноволновых флуктуаций, свойственных хаотическому старту. В нем распределение по скоростям строится для частиц в каждой ячейке одинаковым образом, то есть общее распределение состоит из пучков с различными скоростями. При этом все пучки являются пространственно однородными, что приводит к снижению начальных флуктуаций до уровня ошибок округления. Необходимый набор из скоростей можно определить с помощью процедуры, представленной на рисунке 4.6, задавая в качестве значения функции , равномерно распределенные в интервале (0, 1).

4.8. Формулы алгоритма PIC-метода в компьютерных переменных

Любая численная реализация физической задачи требует проведения удобного обезразмеривания. Пример такого обезразмеривания был рассмотрен в пункте 3.1 для случая численного решения уравнений Власова и Пуассона. Введение безразмерных переменных в PIC-алгоритмах преследует две цели. Во-первых, стандартное приведение вычисляемых физических величин к значениям с разумным порядком. Во-вторых, желательно получить уравнения для новых переменных с минимальным числом арифметических операций с целью сокращения расчетного времени.

Для моделирования плазменных колебаний удобно использовать следующий набор компьютерных переменных [2, стр. 198]:

, , ,