Лекции по курсу «Вычислительный эксперимент в физике плазмы» (стр. 16 )

Рис. 7.4

Безразмерные переменные по осям те же, что и на рисунке 7.3. Результаты выведены для момента времени при следующих значениях параметров: , , ; (а) – , (б) – .

По мере увеличения амплитуды импульса и сжатия солитонов при некотором критическом значении амплитуды на фоне солитонной структуры начинает происходить стохастический нагрев электронной комоненты плазмы. На рисунке 7.5 представлены электронные фазовые плоскости , где – проекция релятивистского импульса в единицах .

Рис. 7.5

Значения параметров на рисунке 7.5: , , ; (а) - , (б) - . Стохастический нагрев обусловлен возникновением большого числа гармоник в спектре продольного электрического поля (рис. 7.6) и соответствующим перекрытием нелинейных резонансов [13].

Рис. 7.6

В работе [14] аналитически и с помощью одномерного численного моделирования было показано, что в определенной области значений параметров , необыкновенная может распадаться на две другие необыкновенные волны. В результате развития такой параметрической неустойчивости также имеет место сильный нагрев электронной компоненты плазмы.

Список литературы к теме 7

Использованная литература:

1.  Fainberg Ya. B. Proc. CERN Symp. on High Energy Accelerators and Pion Physics. 1956. V. 1, 68 p.

2.  Файнберг плазмы. 2000, т. 26, 335 с.

3.  , УФН. 1999, т. 169, 53 с.

4.  , , Сахаров плазмы. 1990, т. 16, 764 с.

5.  , , Умнов моделирование плазменных процессов. – М.: Изд-во РУДН, 2003.

6.  , , Р. Письма в ЖЭТФ. 1992, т. 55, 550 с.

7.  ЖЭТФ. 1962. Т. 43. № 8. 886 с.

8.  УФН. 1997. Т.167. № 1. 3 с.

9.  Krasovitskiy V. B., Dorofeenko V. G., Sotnikov V. I., Bauer B. Phys. Plasmas. 2004, v. 11, 724 p.

10.  , Туриков атомной науки и техники. 2006, № 5, 185 с.

11.  Wilks S. C., Kruer W. L., Tabak M., Langdon A. B. Phys. Rev. Letters. 1992, v. 69, № 9, 1383 p.

12.  Krasovitskiy V. B., Turikov V. A., Sotnikov V. I. Phys. Plasmas, 2007, v. 14, 092108.

13.  , Трубецков в теорию колебаний и волн. – М.: Наука, 1984. 213 с.

14.  , , Сотников плазмы. 2006, Т. 32, 26 с.

Рекомендуемая литература:

1.  Mourou G. A., Tajima T. Bulanov S. V. Rev. Mod. Phys. 2006, v. 78, 309 p.

2.  Силин воздействие излучения большой мощности на плазму. – М.: Наука, 1973.

3.  . Введение в физику плазмы. – М.: Мир, 1987.

4.  . Введение в нелинейную физику плазмы. – М.: Изд-во МФТИ, 1996.

5.  Физика плазмы и численное моделирование. – М.: Энергоатомиздат, 1989.

Тема 8. Метод частиц в ячейке для двумерных и трехмерных плазменных процессов

8.1. Общая схема метода для электростатических процессов

Общая схема метода частиц в ячейке для двумерных и трехмерных электростатических моделей по своей структуре аналогична схеме для одномерных моделей, однако ее реализация имеет ряд особенностей, связанных с решением конкретных задач.

Рис. 8.1. Временной цикл схемы метода частиц в ячейке

Цикл вычислений состоит из следующих этапов (рис. 8.1.):

1. По заданному пространственному распределению частиц плазмы (электронов и ионов) в начальный момент времени t=0 рассчитывается плотность заряда в узлах заданной пространственной сетки (рис. 8.2): . Здесь i, j – номера узлов в направлениях X, Y соответственно, а , – пространственные шаги в этих направлениях; i = 1,…, N; j = 1,…, M, где N, и M узлов в направлениях X, Y соответственно. Плотности зарядов в узлах сетки находятся с помощью процедуры раздачи заряда по четырем ближайшим к частице узлам.

2. На стационарной пространственной сетке решается уравнение Пуассона, конечно-разностная форма которого имеет вид:

Рис. 8.2. Типичная двумерная прямоугольная сетка

(8.1)

Граничные условия для решения уравнения Пуассона определяются физической постановкой задачи.

3. Самосогласованное электрическое поле плазмы вычисляется с помощью взятия разностных производных от сеточной функции потенциала:

(8.2)

4. Следующим шагом является интегрирование уравнений движения частиц плазмы.

В дальнейшем цикл вычислений повторяется.

Таким образом, в представленной схеме реализуются последовательность вычислений:

,

в результате которых частицы продвигаются на один временной шаг.

8.2. Вычисление распределения плотности заряда

В двумерных и трехмерных моделях, как правило, не используют метод ближайшего пространственного узла NGP, поскольку он является грубым. Наиболее экономичными и часто используемыми являются методы билинейной интерполяции и «взвешивания по площадям». Вклад заряда каждой частицы в ближайшие узлы пространственной сетки определяется следующей процедурой:

(8.3)

где – плотность заряда k-ой частицы.

Это процедура взвешивания первого порядка в распределении заряда частиц. Следует отметить, что к такому же результату приводит распределение заряда по ближайшим узлам с помощью билинейной интерполяции.

Геометрическое представление «взвешивания по площадям» и метода билинейной интерполяции представлено на рисунках 8.3 и 8.4. На рисунке 8.3 частица интерпретируется в виде прямоугольного облака, размер которого совпадает с размером ячейки (метод “cloud in cell” или CIC). Узлам A, B, C и D приписываются плотности зарядов, пропорциональные площадям a, b, c и d, соответственно.

Рис. 8.3. Взвешивание по площадям в методе CIC

Рис. 8.4. Билинейная интерполяция в методе PIC

На рисунке 8.4 представлена интерпретация билинейной интерполяции в методе «particle in cell» или PIC. Как следует из рисунков, оба метода фактически являются идентичными, различна лишь интерпретация моделируемой частицы.

Использование процедуры взвешивания более высоких порядков часто приводит к значительному увеличению числа операций с плавающей запятой (флопов) на один временной шаг, поэтому в задачах с большим числом временных шагов их применение не всегда оправдано.

Отметим, что после решения уравнения Пуассона и расчета электрического поля в узлах сетки определение поля, действующего на частицу, должно проводиться тем же методом, что и раздача заряда в узлы сетки.

Другие этапы моделирования методом частиц в ячейке – нахождение самосогласованного электрического поля, интегрирование уравнений движения, а также вопросы, связанные с формирование начального распределения частиц и обезразмериванием переменных – подробно рассмотрены для одномерного случая в темах 4, 6. Многие из рассмотренных выше методов и схем могут быть обобщены для двумерного и трехмерного моделирования. Однако, несмотря на ряд общих черт, каждая модель требует индивидуального подхода, определяемого физической постановкой задачи.

8.3. Электромагнитные алгоритмы, непосредственно использующие значения электрического и магнитного полей

Собственные электрическое и магнитное поля плазмы рассчитываются с использование их производных по времени, определяемых из уравнений Максвелла:

, (8.4)