Лекции по курсу «Вычислительный эксперимент в физике плазмы» (стр. 1 )

ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ

«ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ В ФИЗИКЕ ПЛАЗМЫ»

Введение

В этом учебном пособии студенту предоставляется возможность приобщиться к интереснейшей области знаний – численному моделированию и вычислительному эксперименту. Она охватывает огромный диапазон научных дисциплин: физику, химию, вычислительную математику, экономику, информационные технологии и т. д. Бурно развивающаяся компьютерная техника сделала доступными мощные персональные компьютеры для широких кругов молодых исследователей. Они позволяют проводить такое моделирование сложных процессов, о котором раньше можно было только мечтать. Сюда, в частности, относятся двух - и трехмерные процессы в плазме, в атмосфере Земли, в астрофизических объектах. Однако прежде чем приступать к написанию таких сложных программ нужно освоить основы построения численных моделей. В этом и состоит главная цель данного пособия. Оно построено по обычному принципу: от простого к сложному. Главное внимание уделяется методу частиц как наиболее универсальному и мощному. Сначала подробно рассматривается одномерная электростатическая модель плазмы. Ее численная реализация содержит в себе универсальные элементы, свойственные и другим, более сложным моделям. Затем анализируется одномерная электромагнитная модель плазмы. Далее делается постепенный переход к двухмерным и трехмерным моделям. Такой подход позволяет подойти к моменту начала разработки по-настоящему сложной программы, уже будучи хорошо вооруженным профессиональными навыками. Те, кто имел дело с программированием, понимают, насколько это важно.

При написании этого учебника авторы использовали свой многолетний опыт преподавания основ численного моделирования в Российском университете дружбы народов.

Тема 1. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент – новая технология научных исследований

1.1.  Математическое моделирование и вычислительный эксперимент

Интенсивное развитие компьютерных технологий в последние 50 лет и широкое применение математических методов позволили повысить уровень теоретических и экспериментальных исследований во всех областях знаний. Наряду с устоявшимися за многие столетия общепринятыми методами исследования, аналитическим и экспериментальным, появился метод, сочетающий в себе достоинства как теории, так и эксперимента – математическое моделирование. Преимущество нового метода заключается в том, что изучается не само явление или процесс, а его модель, что дает возможность достаточно быстро и без больших затрат исследовать свойства и характеристики исследуемого процесса. Вычислительные эксперименты с численными моделями позволяют изучать сложнейшие нелинейные процессы, что не под силу современным теоретическим подходам. С другой стороны, вычислительный эксперимент позволяет проводить исследование быстрее, а затраты на его проведение значительно ниже, чем при проведении натурного эксперимента.

На появление и развитие методологии математического моделирования повлияли два фактора. Первый – появление компьютеров, избавляющих ученых от непроизводительной вычислительной работы, а второй – создание ракетно-ядерного щита в СССР и США. Решение таких сложнейших научно-технический проблем, как ядерные взрывы и полеты в космос, не могли быть реализованы традиционными методами без широкого использования вычислительных средств. Огромный вклад в становление и развитие математическое моделирование и вычислительный эксперимента внес академик и его ученики[1].

Основу математического моделирования составляет триада модель – алгоритм – программа. Математические модели реальных исследуемых процессов сложны и включают системы нелинейных дифференциальных уравнений. Ядро математической модели составляют уравнения с частными производными.

Успех математического моделирования определяется одинаково глубокой проработкой всех основных звеньев вычислительного эксперимента. Опираясь на триаду модель – алгоритм – программа, исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется и калибруется на решении содержательного набора пробных (тестовых) задач. После этого проводится широкомасштабное исследование математической модели для получения необходимых качественных и количественных свойств и характеристик исследуемого объекта.

Математическое моделирование и вычислительный эксперимент позволяют решить задачу тесного координирования и связи теоретических и экспериментальных исследований. Таким образом, математическое моделирование и вычислительный эксперимент являются новой объединяющей технологией научных исследований.

1.2.  Цикл вычислительного эксперимента

Рассмотрим подробнее цикл вычислительного эксперимента, основные этапы которого представлены на рисунке 1.1 [1, 2].

Рис. 1.1.  Этапы вычислительного эксперимента

На первом этапе вычислительного эксперимента выбирается (или строится) модель исследуемого объекта (процесса, явления), отражающая в математической форме важнейшие его свойства – законы, которым он подчиняется. Математическая модель исследуется традиционными аналитическими средствами прикладной математики для получения предварительных знаний об объекте. Таким образом, на первом этапе проводится предварительный анализ исследуемого объекта (процесса, явления) и построение математической модели (составление уравнений, описывающих исследуемое явление).

Второй этап связан с выбором (или разработкой) вычислительного алгоритма для реализации модели на компьютере. Исследователю необходимо помнить, что точность расчетов на компьютере ограничена, кроме того, любой метод расчета также вносит погрешность. Выбранные (или созданные) вычислительные алгоритмы, также внесение в модель упрощающих предположений, не должны искажать основные свойства исследуемого объекта, они должны быть адаптирующимися к особенностям решаемых задач и используемых вычислительных средств. Задачами данного этапа являются: построение дискретной модели, аппроксимирующей исходную математическую задачу, построение разностной схемы, разработка (или выбор) вычислительного алгоритма и т. д.

На третьем этапе создается программное обеспечение для реализации модели и алгоритма на компьютере. Программный продукт должен учитывать важнейшую специфику математического моделирования, связанную с использованием ряда (иерархии) математических моделей, многовариантностью расчетов. Это подразумевает широкое использование комплексов и пакетов прикладных программ, разрабатываемых, в частности, на основе объектно-ориентированного программирования. Таким образом, на данном этапе создается программа (программный комплекс), реализующая вычислительные алгоритмы на одном (или нескольких) алгоритмическом языке высокого уровня.

Четвертый этап связан с проведением расчетов и обработкой полученной информации (диагностики).

На пятом этапе проводится анализ результатов расчетов, их сравнение (если это возможно) с результатами натурного эксперимента.

Как правило, после создания первой версии программы и анализа полученных результатов исследователь приходит к выводу о необходимости внесения изменений в саму модель или выработанные или использованные методы и алгоритмы, то есть вернуться к предыдущим этапам.

Так, может выясниться, что построенная модель недостаточно хорошо отражает особенности исследуемого явления. В этом случае модель корректируется, вносятся соответствующие поправки в численные методы и реализующие их программы и выполняется новый расчет. Тем самым цикл вычислительного эксперимента воспроизводится в полном объеме.

При анализе результатов могут быть выявлены какие-либо недостатки используемых численных методов, связанные, в частности, с соображениями точности или эффективности. Исследователь всегда находится между Сциллой и Харибдой, иными словами, между желанием, с одной стороны, создать модель, которая бы описывала изучаемый объект как можно точнее, а с другой стороны, несмотря на бурное развитие компьютерных технологий, исследователь ограничен возможностями вычислительной техники, имеющейся в его распоряжении. Так или иначе, приходится искать «золотую середину». Изменение методов и алгоритмов влечет за собой изменение соответствующих программ. Иначе говоря, цикл повторяется в несколько сокращенном виде (этапы 2–5).

Кроме того, может оказаться неудачным некоторое программное решение, например, представление данных. Заметим, что важным этапом является оптимизация программы с точки зрения эффективности расчета. Пересмотр таких решений приводит к повторению этапов 3–5.

1.3.  Особенности вычислительного эксперимента

Этапы вычислительного эксперимента, описанные в 1.2, возникают практически в любом мало-мальски сложном программном проекте. Первая версия программы всегда не удовлетворяет разработчика, и приходится уточнять постановку задачи, улучшать отдельные алгоритмы. Однако в большинстве случаев достаточно бывает выполнить несколько циклов, требующих сравнительно небольших усилий, и программа обретает желаемый вид.

В вычислительном эксперименте программа представляет собой виртуальную экспериментальную установку, от первых опытов с которой вряд ли следует ожидать сколько-нибудь интересных результатов. Данные первых опытов послужат всего-навсего отправной точкой длительного процесса изменений и усовершенствований установки, который только и способен привести к достаточно обоснованным заключениям об исследуемом объекте. Первая версия программы лишь в самых общих чертах намечает направление исследований. Основная же работа по программированию связана с многократными модификациями программы, отражающими эволюцию математической модели и методов ее расчета. Напрашивается вывод о том, что вычислительный эксперимент все-таки ближе к натурному эксперименту, чем к аналитическому исследованию.

Как и в натурном эксперименте, исследователь не выбрасывает отдельные модули виртуальной установки, которые не подходят для решения данной задачи. Эти модули могут впоследствии пригодиться для решения похожих задач или могут быть усовершенствованы. Метод, оказавшийся непригодным для одной модели, вполне может подойти для другой.