Лекции по курсу «Вычислительный эксперимент в физике плазмы» (стр. 17 )

. (8.5)

Эти уравнения записаны в рационализированной СГС (или Хевисайда–Лоренца) системе единиц, в которой исключены почти все проявления множителей в процессе постановки задачи и физической интерпретации результатов.

Определяя поля в точках, показанных на рисунке 8.5, можно записать разностные аналоги уравнений Максвелла, имеющих второй порядок точности по пространству и времени. Все производные являются центрированными разностными производными.

Рис. 8.5. Пространственное расположение на двумерной сетке полей, используемых для интегрирования уравнений Максвелла

В качестве примера запишем производную по времени:

, (8.6)

где .

Аналогично определяются и . Градиент переходит в . Такое обозначение будет полезно в дальнейшем вследствие того, что эти операторы, применяемые к полям, определенным на пространственно-временной сетке, перестановочны. Следовательно, с разностными уравнениями можно обращаться точно таким же образом, как и с соответствующими уравнениями Максвелла.

Разностные уравнения Максвелла имеют вид [1, стр. 343]:

, (8.7)

,

. (8.8)

Если и известны, то уравнение (8.7) определяет . Подобным же образом пересчитывается электрическое поле. Например, уравнение (8.8) записывается в виде:

. (8.8а)

Это уравнение может быть использовано поочередно, вначале для пересчета E, а затем B. На каждом временном шаге новые значения поля переписываются в память на место старых. В большинстве случаев нет необходимости сохранять поля больше, чем для одного момента времени.

Можно получить информацию о точности и устойчивости схемы, если рассмотреть плазменные электромагнитные волны в вакууме и их воспроизведение приведенной схемой. Предполагая, что поля имеют вид и подставляя их в разностные уравнения, находим

,

где . При предельном переходе от дискретного описания к непрерывному и стремятся к и . Исключение E и B приводит к соотношению

. (8.9)

Можно легко проверить, что между Е и В нет никаких расхождений по фазе или амплитуде и что отсутствует какое-либо затухание или нарастание колебаний ( действительна), если выполняется условие Куранта [2, стр. 169]:

. (8.10)

Погрешности в величине w и относительных направлениях полей и имеют второй порядок точности по , и . Все эти свойства являются прямым следствием центрирования разностных производных по пространству и времени. Достижение подобной точности с использованием нецентрированных разностных схем потребовало бы существенно более сложного алгоритма.

Когда условие (8.10) нарушается, превышает единицу для , близких к . Корни являются теперь комплексными, причем один корень соответствует нарастанию, которое может быть очень быстрым.

В двумерном случае компоненты полей , и не связаны с компонентами , и посредством уравнений Максвелла. Вследствие этого узлы разностных сеток для двух совокупностей полей могут иметь любое желаемое относительное расположение. Выбираются одинаковые узлы для и вместе с , вместе с и вместе с . Эта процедура делает аналогичными индексирование программы и граничные условия.

Имеются еще два уравнения Максвелла. Разностные уравнения обладают свойством дифференциальных уравнений, т. е. если и корректно определены в начальный момент, то они остаются неизменными во все остальные временные моменты, т. е.

.

Аналогично

.

8.4. Bзаимодействие частиц и полей

При интегрировании с учетом взаимодействия полей и частиц необходимо связывать друг с другом величины, определенные в различные моменты времени и в различных точках пространства. Магнитное поле, определенное уравнениями поля на полуцелых временных слоях, для уравнения движения частиц требуется в целые моменты времени. Поскольку для нахождения значений B в более поздние моменты времени по отношению к E можно просто усреднить B по времени [1, стр. 356]:

. (8.11)

Это соотношение должно обязательно использоваться при интегрировании уравнения движения частиц, а также в некоторых диагностиках. На практике усреднение проводится не в явном виде. Для того чтобы избежать использования дополнительной памяти, интегрирование B разбивается на два шага. На последнем шаге B пересчитывается лишь частично [1, стр. 357]:

. (8.12)

Уравнения движения частиц интегрируются, а затем B таким же способом пересчитывается на в качестве первого шага следующего интегрирования уравнения поля.

Для расчета плотности тока по координатам и скоростям частиц, чтобы получить центрированную по времени плотность тока , вместе с используется взвешенное среднее двух координат и . Другой способ состоит в использовании весов для координаты .

Можно легко проверить, что никакая плотность тока не удовлетворяет уравнению непрерывности с величиной , вычисленной любыми методами, но зависящей только от положений частиц в текущий момент. В этом можно убедиться даже в пределе , рассматривая, например, частицу, которая движется по окружности внутри четверти ячейки. После каждого оборота изменяется на ненулевую среднюю величину, хотя величина та же самая.