Теоретична та прикладна механіка (стр. 13 )

Геометричні характеристики поперечних перерізів стержнів

При розтязі (стиску), згині та крученні стержнів напруження та деформації виражаються через деякі величини, що залежать як від форми, так і розмірів поперечного перерізу. Ці геометричні величини називають геометричними характеристиками поперечного перерізу. Такими характеристиками, крім площі поперечного перерізу, є статичні моменти та моменти інерції.

Вміння визначати геометричні характеристики є необхідним для розрахунків брусів на міцність, жорсткість при різних видах деформацій.

Статичні моменти. Моменти інерції

Статичними моментами перерізу відносно осей y, z (рис.4.1) називаються величини

Рис. 4.1

, (4.1)

де А — площа фігури, у, z — відстані до відповідних осей.

Якщо відомо положення центру ваги перерізу (відомі координати центра ) , то співвідношення (1) можна записати у вигляді:

; . (4.2)

Осі, які проходять через центр ваги перерізу, називаються центральними осями. Очевидно, що відносно центральних осей статичні моменти дорівнюють нулю.

Положення центру складного перерізу — точки С, який можна розкласти на складові частини (для кожної з яких відома площа і положення центру), визначають за формулами:

; . (4.3)

Правило симетрії

Якщо переріз має вісь симетрії, то статичний момент відносно цієї осі дорівнює нулю (рис. 4.2). Отже:

а) вісь симетрії завжди є центральною віссю перерізу;

б) центр ваги перерізу завжди лежить на його осі симетрії, якщо вона є.

Рис. 4.2

§ 1.2 Моменти інерції плоскої фігури

Геометрична характеристика, яка чисельно дорівнює інтегралові

(4.4)

називається полярним моментом інерції плоскої фігури з площею А відносно точки О. (рис. 4.3)

Геометричні характеристики, які чисельно дорівнюють інтегралам

Рис. 4.3

; (4.5)

називаються осьовими моментами інерції плоскої фігури відносно осей y,z.

Полярний момент інерції через осьові можна виразити:

. (4.6)

Полярний і осьові моменти інерції набувають лише додатних значень; вимірюються в одиницях: м4, см4, мм4 .

Відцентровим моментом інерції плоскої фігури називається геометрична характеристика, яка чисельно дорівнює інтегралові

. (4.7)

Відцентровий момент інерції може набувати додатних і від’ємних значень, а також дорівнювати нулю. Розмірність – одиниця довжини у четвертому степені.

Правило знаків відцентрового моменту інерції для кутника: знак відцентрового моменту буде визначатися знаком моментів заштрихованих частин кутника, які більші від моменту не заштрихованої частини. Якщо розглянути рис. 4.3 а, заштриховані частини кутника знаходяться у другій і четвертій чвертях координатної системи, їх відцентрові моменти інерції від’ємні, отже і відцентровий момент інерції усього кутника мусить бути від’ємним.

Рис. 4.4

Залежність між моментами інерції при паралельному переносі та при повороті осей

Якщо відома величина моментів інерції перерізу відносно центральних осей (рис. 4.5), то моменти інерції відносно довільних осей , паралельних до заданих центральних осей , обчислюється за формулами:

(4.8)

де — відстані між осями та ; A — площа поперечного перерізу.

Рис. 4.5

Залежність між моментами інерції при повороті осей

Якщо відома величина моментів інерції перерізу відносно центральних осей (рис. 4.6), то моменти інерції відносно осей, повернутих на кут відносно осей обчислюються за формулами:

(4.9)

При повороті осей сума осьових моментів не змінюється:

. (4.10)

Рис. 4.6

Залежності, виражені формулами (4.9), існують при повороті будь-яких осей, а не тільки центральних.

Головні центральні осі інерції та головні моменти інерції

Головними осями інерції плоскої фігури називаються такі дві взаємно перпендикулярні осі, відносно яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю. Головні осі інерції, початок координат яких збігається з центром ваги фігури, називаються головними центральними осями інерції.

Якщо переріз має дві осі симетрії (або безліч осей симетрії), то ці осі є головними центральними. У перерізах, що мають одну вісь симетрії, ця вісь симетрії і перпендикулярна до неї центральна вісь будуть головними центральними осями. Якщо переріз не має осей симетрії, то положення головних центральних осей відносно довільних центральних осей характеризується кутом що знаходиться із співвідношення:

. (4.11)

Рівняння має у межах два корені, а саме гострий і тупий кути, які відрізняються на . Додатні кути відкладаються проти ходу стрілки годинника.

Головними моментами інерції плоскої фігури називаються осьові моменти інерції, визначені відносно її головних центральних осей. Величини головних моментів інерції набувають екстремальних значень у порівнянні з моментами інерції відносно будь-яких центральних осей і знаходяться зі співвідношення:

. (4.12)

Значення моментів інерції деяких простих перерізів

а) прямокутний переріз ( рис. 4.7, а)

; ;

б) квадратний переріз ( рис. 4.7, б)

;

в) круглий переріз ( рис. 4.7, в)

;

г) кільцевий переріз ( рис. 4.7, г)

;

де ;

д) трикутного перерізу ( рис. 4.7, д)

;

У випадку рівностороннього трикутника ( рис. 4.7, е)

;

е) півкруглого перерізу ( рис. 4.7, ж)

.

Рис. 4.7

КРУЧЕННЯ ВАЛІВ ТА СТРИЖНІВ

5.1. Крутний момент. Епюри крутних моментів

Деформація кручення виникає у валах машин, пружинах, болтах при закручуванні крутними моментами їх поздовжніх осей. Якщо у площині вільного торця вала прикласти пару сил з моментом, а другий кінець жорстко затиснути (рис. 5.1), то в поперечних перерізах вздовж осі вала виникнуть внутрішні сили. Рівнодійний момент цих внутрішніх сил називається моментом кручення, або крутним моментом.