Теоретична та прикладна механіка (стр. 15 )

. (5.15)

5.4. Кручення стрижнів некруглих перерізів

При крученні стрижнів чи валів круглих перерізів визначення напружень та кутів закручування було обумовлене прийняттям низки гіпотез. Однією із основних гіпотез була гіпотеза плоских перерізів. У випадку стрижня некруглого перерізу (наприклад, прямокутного) ця гіпотеза не може бути справедливою, бо навіть при візуальному спостереженні видно (рис. 5.6) як сітка прямих ліній, що перед цим була нанесена на брус (стрижень) прямокутного перерізу, викривлюється, а перерізи, які були до деформації плоскими, набувають хвилястої форми. Явище викривлення поперечних перерізів називається депланацією і є наслідком появи при крученні поздовжніх переміщень.

Рис. 5.6

Тому, в опорі матеріалів, для визначення напружень та кутів закручування некруглих перерізів стрижня, використовуються емпіричні формули. Тобто такі формули, які за допомогою певних коефіцієнтів погоджуються із відповідними формулами теорії пружності. Так, максимальні дотичні напруження, що діють посередині довшої сторони прямокутного перерізу (рис. 5.6, б) визначаються за формулою:

, (5.16)

де – полярний момент опору прямокутного перерізу при крученні.

Кут закручування перерізів стрижня також знаходиться за формулою, яка аналогічна відповідній формулі опору матеріалів (5.2) для стрижнів круглого перерізу:

, (5.17)

де – геометрична характеристика прямокутного перерізу, що за розмірністю відповідає полярному моментові інерції перерізу. Коефіцієнти і знаходяться емпірично і залежать від відношення сторін прямокутника. Напруження посередині коротшої сторони прямокутника визначається за формулою

. (5.18)

Коефіцієнти, , для різних відношень сторін прямокутника беруть із таблиці 5.1:

Таблиця 5.1 – коефіцієнти , ,

1,0	0,141	0,208	1,000	5,0	0,291	0,291	0,744
1,5	0,196	0,231	0,859	6,0	0,299	0,299	0,743
2,0	0,229	0,246	0,795	8,0	0,307	0,307	0,742
3,0	0,263	0,267	0,753	10,0	0,313	0,313	0,742
4,0	0,281	0,282	0,745		0,333	0,333	0,742

Аналіз формул (5.16), (5.17) та коефіцієнтів, наведених у таблиці, дозволяє зробити висновок, що при чистому крученні стрижнів, що мають поперечні перерізи у вигляді вузьких прямокутників , коефіцієнти і рівні між собою і дорівнюють –. Тому для таких перерізів геометричні характеристики можна шукати за спрощеними формулами:

, . (5.19)

Такі стрижні ще називають тонкостінними стрижнями відкритого профілю. Їх перерізи можуть складатися з однієї або кількох вузьких смужок (рис. 5.7).

τmax

Рис. 5.7

Момент інерції такого перерізу обчислюється як сума моментів інерції кожної смужки окремо:

, (5.20)

де – поправочний коефіцієнт, що залежить від форми (обрису) перерізу: для кутника; для швелера; для тавра; для двотавра.

Вважається, що по товщині стінки (смужки перерізу) дотичні напруження розподіляються за лінійним законом і “обтікають” контур поперечного перерізу, як показано на рис. 5.7, б. Найбільші дотичні напруження виникають посередині довжини прямокутної смужки з найбільшою товщиною і визначаються за формулою:

, (5.21)

де – найбільша ширина смужки у складному перерізі.

б)

У випадку, коли смужки утворюють замкнутий профіль, то його жорсткість збільшується у десятки разів, тому що у цьому випадку плече пари внутрішніх сил має величину порядку “діаметра” перерізу, що обмежується середньою лінією стінки профілю (рис. 5.8 а, б). Дотичні напруження, що виникають у стінках замкнутого перерізу, вважаються приблизно однаковими по всій товщині стінки.

(5.22)

де для замкнутого профілю (сталої товщини) геометричні характеристики дорівнюють:;; – сумарна довжина контуру; – площа контуру, що обмежена середньою лінією.

Рис. 5.8

Для кругового тонкостінного кільця (з середнім діаметром та товщиною) площа контуру, а геометричні характеристики, будуть наступними:

, . (5.23)

Порівняємо кут закручування та дотичного напруження стрижня відкритого профілю з відповідними характеристиками стрижня замкнутого профілю –,