Теоретична та прикладна механіка (стр. 17 )

. (6.4)

Згинальний момент є рівнодійною моментів елементарних нормальних зусиль (Рис. 6.4, б) -

. (6.5)

Визначення закону розподілу напружень і в перерізах балки із інтегральних рівнянь (6.4) і (6.5) є статично невизначною задачею теорії пружності. Тому в опорі матеріалів користуються наближеними методами, що базуються на певних гіпотезах щодо характеру розподілу напружень і у площинах перерізу.

Рис. 6.4

Для визначення нормальних напружень розглянемо випадок чистого згину, за якого поперечна сила і можуть бути справедливими наступні гіпотези:

–  поперечні перерізи балки, плоскі і перпендикулярні до її осьової лінії до деформації, залишаються плоскими і перпендикулярними до цієї лінії і після деформації (гіпотеза плоских перерізів);

–  поздовжні волокна балки при її деформації зазнають тільки простого розтягу або стиску, але не тиснуть одні на одних у вертикальному напрямку;

–  деформації волокон по ширині перерізу не змінюються, а по висоті змінюються неперервно.

Виходячи із першої гіпотези, легко довести, що деформації поздовжніх волокон балки мають змінюватися пропорційно залежно від відстані до нейтральної осі стрижня, тобто, де – величина, яка чисельно рівна кривині нейтральної осі стрижня:

. (6.6)

де = 1/ρ; ρ – радіус кривини нейтральної осі стрижня.

Друга гіпотеза еквівалентна умові, що за чистого згину поперечні нормальні напруження дорівнюють нулю. Тобто, на основі закону Гука, нормальні напруження в балці будуть дорівнювати

. (6.7)

Підставивши вираз (6.7) у рівняння (6.5), отримаємо

, (6.8)

де – осьовий момент інерції поперечного перерізу відносно осі

Співвідношення (6.8) можна переписати в іншому вигляді:

, (6.9)

яке ще називають законом Гука за згину.

Об’єднавши співвідношення (6.7) та (6.9), отримаємо вираз для визначення нормальних напружень у балці:

. (6.10)

З одержаної формули видно, що найбільші розтягувальні та стискувальні напруження виникають у найвіддаленіших від нейтральної осі балки точках. Якщо поперечний переріз симетричний відносно осі, то між згаданими напруженнями існує залежність:

, (6.11)

де – осьовий момент опору перерізу балки.

Для балки прямокутного перерізу:, ,. Для балки круглого перерізу (діаметром). Характеристики перерізів балок іншої форми (трикутник, швелер, двотавр тощо) подаються у вигляді таблиць в різних довідниках, а також у табл. 4.1.

Отримані вирази для нормальних напружень при чистому згині у випадку поперечного згину, коли, вже не будуть точними. Це пов’язано із тим, що для поперечного згину гіпотеза плоских перерізів не виконується. Але, як показали точніші дослідження на основі рівнянь теорії пружності, формулою (6.10) можна користуватись і у випадках поперечного згину, підставивши в неї замість сталого згинального моменту змінний згинальний момент –

. (6.12)

Похибка, яка при цьому допускається, не перевищуватиме 2%, якщо відношення довжини прогону до висоти перерізу буде задовольняти нерівність. Проте така оцінка справедлива тільки для ізотропних матеріалів. Для анізотропних матеріалів похибка формули (6.12) може бути значно більшою. Наприклад, для дерев’яної (соснової) балки вона може (при і різних розподілених навантаженнях) перевищувати. У таких випадках необхідно використовувати розв’язки теорії пружності, або точніші рівняння згину балок.

За розрахунку балки на міцність з невисоким рівнем дотичних напружень можна вважати, що її міцність буде забезпечена, коли задовольняється умова міцності для максимальних нормальних напружень, які виникають у її небезпечному перерізі

.

Підставивши значення із формули (6.11), одержимо умову міцності для балки з симетричним перерізом:

. (6.13)

З цієї умови випливає умова підбору поперечного перерізу балки:

. (6.14)

За одержаним числовим значенням осьового моменту опору підбираємо відповідний стандартний профіль або геометричні параметри прямокутного чи круглого перерізів. Якщо ж переріз несиметричний, то визначається менший з двох моментів опору перерізу. У випадку матеріалу, що неоднаково працює на розтяг і стиск, перевірку на міцність необхідно робити окремо для кожного виду деформації за відповідними допустимими напруженнями.

6.3. Дотичні напруження за поперечного згину балки.
Формула Журавського

Поперечний згин балки викликає у її поперечних перерізах дію дотичних напружень, рівнодійною яких є перерізуюча сила. Формули розподілу цих напружень знаходяться методами теорії пружності. Їх аналіз показує, що суттєвих значень дотичні напруження досягають у тонкостінних перерізах та у перерізах форми високих і вузьких прямокутників. Вперше елементарним методом, без застосування рівняння теорії пружності, формулу для дотичних напружень вивів учений Д. І. Журавський (1856 р.). Це стало можливим за справедливості гіпотези, що вони розподіляються рівномірно по ширині перерізу (Рис. 6.5, а) і для них залишається справедливою гіпотеза парності дотичних напружень. Формула для дотичних напружень носить назву формули Журавського, що має вигляд: