Теоретична та прикладна механіка (стр. 9 )

Рис. 1.6

Тоді з рівності (1.4) одержимо

.

Звідси . (1.5)

Отже, виходячи з цього припущення, поперечні перерізи стрижня, плоскі перед прикладенням навантаження, залишаються плоскими також після нього. Останнє положення в літературі ще називають гіпотезою плоских перерізів або гіпотезою Бернуллі.

Проте, як теоретичні, так і експериментальні дослідження показують, що гіпотеза плоских перерізів порушується у безпосередній близькості від місця прикладення навантаження. Точніше дослідження деформацій розтягу-стиску показує, що у місцях, близьких прикладеним до стрижня зовнішніх навантажень, епюри нормальних напружень можуть мати вигляд, представлений рис. 1.6 б, 1.6 в, або будь-який інший вигляд. Тобто, формула (1.5) стає неправильною, а для визначення нормального напруження необхідно розв’язувати досить складну задачу математичної теорії пружності. Щоби мати уяву, коли можна використовувати формулу (1.5), французький вчений Б. Сен-Венан у 1855 р. сформулював принцип, який і сьогодні носить його ім’я. Згідно цього принципу у поперечних перерізах стрижнів, досить віддалених від точок прикладання навантаження, розподіл напружень практично не залежить від детального способу його прикладання, якщо при цьому рівнодійна сила і рівнодійний момент навантаження залишаються незмінними.

Досліди показують, що такими, “достатньо віддаленими”, будуть перерізи на відстані одного-двох поперечних розмірів стрижня. Принцип Сен-Венана справедливий і для інших видів деформацій: згину, кручення, зсуву.

Для одержання повної картини напружень, які виникають в усіх перерізах, що можуть бути проведені через довільну точку стрижня, визначимо напруження у його довільно нахиленому перерізі (рис.1.7).

а) б)

Рис.1.7

Нехай зовнішня нормаль до перерізу утворює з віссю стрижня кут, який відкладаємо проти ходу стрілки годинника. Площа нахиленого перерізу виражається через площу поперечного перерізу стрижня

. (1.6)

Нормальна складова поздовжньої сили викликає в нахиленому перерізі нормальні напруження, дотична складова – дотичні напруження:

,. (1.7)

Беручи до уваги вираз (1.6), знаходимо з останніх формул:

, (1.8)

. (1.9)

Знайдемо значення нормальних і дотичних напружень для деяких характерних положень нахиленої площини.

Для , ,;

Для , ,.

Отже, у перерізах, перпендикулярних до осі стрижня і паралельних його осі (рис. 1.7), немає дотичних напружень, а нормальні напруження набувають екстремальних значень. Площинки, на яких немає дотичних напружень, називаються головними, а нормальні напруження, що на них виникають – головними напруженнями.

Якщо навколо будь-якої точки стрижня виділити елементарний кубик з ребрами, перпендикулярними та паралельними осі стрижня, то усі грані такого кубика будуть головними площинками. На гранях кубика, перпендикулярних до напрямку дії сили, головні напруження не дорівнюють нулеві, а на всіх інших гранях головні напруження дорівнюють нулеві. Напружений стан матеріалу, при якому головні напруження виникають лише на двох паралельних гранях елементарного кубика, виділеного навколо довільної точки тіла, називається лінійним. Таким чином, можна сказати, що при розтягу або стиску матеріал стрижня знаходиться в лінійному напруженому стані (рис.1.8).

Як видно з формули (1.9), у перерізі, що утворює з віссю стрижня кут 45°, виникає максимальне дотичне напруження.

Знайдемо зв’язок між дотичними напруженнями на двох взаємно-перпендикулярних площинках.

а) б)

Рис.1.8

Нехай зовнішні нормалі до двох взаємно-перпендикулярних площинок утворюють з віссю стрижня кути і, причому (рис.1.8).

На першій з цих площинок дотичне напруження визначається за формулою (1.6). Застосовуючи цю формулу для визначення напруження на площині з зовнішньою нормаллю, одержимо

, тобто . (1.10)

Остання формула виражає закон парності дотичних напружень: дотичні напруження на двох взаємно-перпендикулярних площинках перпендикулярні до лінії їх перетину, рівні за абсолютною величиною і протилежні за знаком.

Це означає, що дотичні напруження напрямлені завжди попарно до ребра перетину двох взаємно-перпендикулярних площинок або від нього (рис. 1.8, б).

1.6. Поздовжні та поперечні деформації. Закон Гука

У 1678 році англійський вчений Р. Гук вперше експериментально встановив, що до певної величини сили деформації пружного тіла пропорційні силі. Цей висновок називається законом Гука і в застосуванні до розтягу або стиску виражає лінійну залежність між подовженням стержня і поздовжньою силою:

, (1.11)

де – абсолютна деформація стрижня; – довжина стрижня;

– площа його поперечного перерізу;– поздовжня сила;

– стала матеріалу, що встановлюється експериментально, має розмірність (паскаль) і називається модулем нормальної пружності (модулем пружності) або модулем Юнга.

Використовуючи поняття відносної лінійної деформації, можна формулі закону Гука надати іншого вигляду:

або . (1.12)

Закон Гука справедливий лише до певної величини нормального напруження, яка називається границею пропорційності даного матеріалу. В системі координат, закон Гука зображається прямою лінією, нахиленою до осі під кутом, причому (рис. 1.9).

З дослідів відомо, що при осьовій дії сили на стрижень одночасно з поздовжніми деформа-ціями виникають також поперечні деформації: при розтягу поперечний переріз стрижня зменшується, а при стиску – збільшуться.

В межах справедливості закону Гука відносне поперечне вкорочення стрижня пов’язане з його відносним видовженням лінійною залежністю:

, (1.13)

де – коефіцієнт пропорційності, що називається коефіцієнтом Пуассона.