Теоретична та прикладна механіка (стр. 8 )

Рис.1.2 Рис. 1.3

Але відомо, що молекули твердого тіла перебувають на стійких відстанях одна від одної і спроби змінити ці відстані шляхом деформування тіла приводять до появи додаткових сил взаємодії між молекулами. Ці додаткові сили протидії прагнуть відновити первісні відстані між молекулами. Вони звуться внутрішніми зусиллями або (це більш поширено) просто зусиллями.

Механічне напруження або просто напруження – це зусилля, яке припадає на одиницю площі перерізу, проведеного подумки (методом перерізів) через дану точку тіла. Іншими словами, напруження – це інтенсивність внутрішніх зусиль.

Нехай через деяку площинку всередині тіла площею передається зусилля. Тоді, згідно з означенням, на цій площинці виникає середнє напруження

. (1.1)

Зауважимо, що формула (1.1) строго правильна лише за умови, що зусилля розподілено по елементарній площині рівномірно. В інших випадках вона дає лише усереднене значення напруження в межах площинки. Але чим площинка менша, тим середні напруження ближчі до дійсного напруження в точці матеріалу. Отже, строго математично напруження визначається за формулою

. (1.2)

Напруження вимірюється в одиницях сили, поділених на одиницю площі. Наприклад, в міжнародній системі одиниць це (називається “паскаль” і записується), або (мегапаскаль). В технічній системі одиниць напруження вимірюється в кілограмах на 1 квадратний сантиметр (). Між одиницями вимірювань напружень в технічній та міжнародній системах одиниць існує зв’язок

.

Напруження залежить не тільки від положення точки у твердому тілі, але й від напряму проведеного перерізу (на відміну від рідини, де тиск у кожній точці за законом Паскаля в усіх напрямах однаковий). У загальному випадку напруження спрямоване під деяким кутом до площини перерізу. Ми можемо розкласти його на нормальну й дотичну складові (рис. 1.3). Тоді замість одного “повного” напруження матимемо два напруження: нормальне, яке діє у напрямі нормалі до перерізу, й дотичне, яке діє у площині самого перерізу. Таке розкладання вигідне тим, що в багатьох практично важливих випадках у розглядуваному перерізі матимемо тільки нормальне або тільки дотичне напруження. Очевидна формула

. (1.3)

Із дослідів також відомо, що руйнування тіла внаслідок відриву однієї частини тіла від іншої викликане нормальними напруженнями, а руйнування зсувом відбувається внаслідок дії дотичних напружень.

Разом з тим, необхідно знати, що повне напруження і його скла-дові: нормальне та дотичне напруження залежать від розміщення самого перерізу (або напрямку нормалі). Тому для того аби говори - ти про напружений стан у певній точці тіла, треба знати множину напружень в усіх перерізах, які можна провести через дану точку.

1.4. Розтяг і стиск

Чистим розтягом (або чистим стиском) називається такий вид деформації, при якому в поперечному перерізі бруса виникає тільки повздовжня сила (розтягувальна або стискувальна), а всі інші внутрішні зусилля (що можуть виникати від дії деформацій згину, зсуву чи кручення) дорівнюють нулю.

При дії розтягувальної сили (рис. 1.4) довжина стрижня може бути довільною (у межах допустимої жорсткості). Дія стискувальної сили на стрижень великої довжини і порівняно невеликого поперечного перерізу може викликати явище поздовжнього згину.

У даній лекції розглядаються лише стиснуті стрижні великої жорсткості (відношення довжини стрижня до найменшого розміру його поперечного перерізу в межах), для яких небезпеки вигину поздовжньої осі немає

Дія стискувальної сили на стрижень великої довжини і порівняно невеликого поперечного перерізу може викликати явище поздовжнього згину. У даній лекції розглядаються лише стиснуті стрижні великої жорсткості (відношення довжини стрижня до найменшого розміру його поперечного перерізу в межах), для яких небезпеки вигину поздовжньої осі немає.

Для визначення внутрішніх сил при розтягу або стиску використовують метод перерізів (рис. 1.5). Вісь стрижня суміщаємо з координатною віссю.

Рис. 1.5

Задавшись напрямом реакції, знаходимо її з умови рівноваги сил, прикладених до стрижня:

;,

звідки .

Для визначення внутрішніх сил у довільному поперечному перерізі 1–1 стрижня розрізаємо його уявно у цьому ж перерізі і відкидаємо одну з частин стрижня. Власною вагою стрижня нехтуємо. Дію відкинутої частини стрижня заміняємо внутрішньою силою, яка називається поздовжньою і являє собою рівнодіючу системи сил, що замінює в даному поперечному перерізі вплив відкинутої частини стрижня на ту, що залишилась. При визначенні поздовжньої сили останню зручно вважати розтягувальною і згідно з цим направити вздовж осі стрижня від розглядуваного перерізу. Відкинувши праву частину стрижня (рис. 1.5), з умови рівноваги сил, прикладених до лівої частини, знаходимо

,

і звідси .

Можна було б відкинути і ліву частину стрижня і розглянути рівновагу правої:

,

звідки .

З одержаних виразів випливає, що поздовжня сила у довільному перерізі стрижня дорівнює алгебричній сумі зовнішніх сил (в тому числі і реакцій), розташованих з одного боку перерізу. Сили, напрямлені від перерізу – розтягувальні (додатні), а сили напрямлені до перерізу – стискувальні (від’ємні).

Для наочного зображення розподілу поздовжніх сил будують їх епюри, тобто графіки, на яких величина обчислених поздовжніх сил відкладається в масштабі у вигляді відрізків, перпендикулярних до осі стрижня (рис. 1.5, г). Якщо на стрижень діють тільки зосереджені сили, то лінії епюри паралельні її осі.

Аналогічно можна визначити поздовжні сили у стрижні і побудувати їх епюру при дії осьових сил, розподілених вздовж осі стрижня, наприклад сили його власної ваги.

1.5. Напруження в поперечних та нахилених перерізах стрижня

Поздовжня сила являє собою рівнодійну внутрішніх нормальних сил, розподілених по площі поперечного перерізу і зв’язана з нормальними напруженнями, що виникають в цьому перерізі, залежністю:

, (1.4)

де площа поперечного перерізу.

Закон розподілу нормальних напружень в поперечному перерізі стрижня зображається графіком, який показує зміну цих напружень по висоті або ширині поперечного перерізу. Такий графік називається епюрою нормальних напружень. Розтягувальні нормальні напруження вважаються додатними, а стискувальні – від’ємними.

Рівність (1.4) задовольняється при будь-якому симетричному відносно осі стрижня розподілі нормальних напружень на площі його поперечного перерізу (рис. 1.6). Проте дослідами встановлено, що у довгих стрижнях нормальні деформації, а отже і напруження будуть також розподілятися рівномірно по площі поперечного перерізу стрижня і їх епюра буде мати вигляд прямокутника, показаного на рис. 1.6 а.