Теоретична та прикладна механіка (стр. 14 )

Рис. 5.1

Якщо до вала прикладено декілька пар сил з моментами, то крутний момент в довільному перерізі вала чисельно дорівнює алгебричній сумі моментів відносно осі вала всіх пар зовнішніх сил, розміщених з одного боку від розглядуваного перерізу.

Крутний момент вважається додатнім, якщо він обертає переріз за ходом стрілки годинника, коли дивитися на переріз вздовж зовнішньої нормалі (рис. 5.2).

Рис. 5.2

5.2. Напруження і деформації при крученні

Розглядаючи кручення вала круглого перерізу (рис. 5.3), легко встановити, що під дією крутного моменту, який прикладений до вільного кінця, будь-який переріз на відстані від затиснення повертається відносно нерухомого перерізу на деякий кут – кут закручування. Між приростом кута закручування і

Рис. 5.3

крутним моментом існує залежність, яка має вигляд аналогії закону Гука для розтягу і стиску:

. (5.1)

Тут – модуль зсуву матеріалу вала, , – полярний момент інерції вала круглого поперечного перерізу. Добуток називається жорсткістю поперечного перерізу вала при крученні.

У випадку, коли жорсткість вала і крутний момент сталі, інтегруванням виразу (5.1) по довжині знаходимо повний кут закручування вала

. (5.2)

Для визначення кута закручування в градусах формулу (5.2) необхідно помножити на величину.

Крутний момент, який можна визначити із рівнянь статики через зовнішні моменти, являє собою сумарний момент елементарних пар внутрішніх зусиль, дотичних до площин перерізу:

, (5.3)

де – дотичне напруження, що виникає в площині на віддалі від осі стрижня (рис. 5.4).

Розв’язок інтегрального рівняння (5.3) відносно дотичного напруження є складною математичною задачею в теорії пружності. Його розв’язання простими методами опору матеріалів можливе, якщо прийняти ряд гіпотез, які підтверджуються даними експериментів і результатами точного розв’язку:

1.  Плоскі поперечні перерізи циліндричного вала до деформації залишаються плоскими і після деформації (гіпотеза плоских перерізів).

2.  Радіуси поперечних перерізів не викривлюються.

3.  У процесі деформації вала відстані між різними поперечними перерізами залишаються незмінними.

Рис. 5.4

Рис. 5.5

Прийняті гіпотези еквівалентні припущенню, що деформація чистого зсуву при крученні, а, значить, і дотичне напруження, будуть прямо пропорційні відстані точок від центра перерізу. Якщо у формулі (5.3) підінтегральний вираз помножити і поділити на, то відношення буде сталою величиною і його можна винести за знак інтеграла

.

Звідcи

. (5.4)

Епюра дотичних напружень показана на рис. 5.5. Максимальне напруження виникає біля контуру перерізу, для якого:

. (5.5)

Змінивши відношення полярним моментом опору , дістанемо

, (5.6)

де ≈.

5.3. Розрахунок валів на кручення

Розрахунок валів на кручення полягає в їх розрахунку на міцність і жорсткість. Умову міцності записують у вигляді

, (5.7)

де;– допустиме дотичне напруження для пластичних або крихких матеріалів.

На основі умови (5.7), можна розв’язувати задачі трьох типів:

а) визначення необхідного діаметра вала, якщо відомі крутний момент та допустиме напруження;

б) перевірка напружень, якщо відомі діаметр вала і крутний момент;

в) визначення допустимого моменту, яким можна навантажувати вал певного діаметра з відомого матеріалу.

При визначенні діаметра вала знаходять спочатку необхідний момент опору:

. (5.8)

Звідки

.

Для трубчатого вала.

Тоді ,.

Допустимий крутний момент шукається за формулою

. (5.10)

Може статись, що вал, задовольняючи умову міцності, буде недостатньо жорстким. Це може привести до виникнення небезпечних коливань. Тому дуже часто ставиться умова, щоб крім міцності вал мав достатню жорсткість, тобто виконувалась умова:

, (5.11)

де – допустимий відносний кут закручування, унормований технічними умовами. Залежно від призначення вала його величина може прийматись в границях:

,

а в градусах на метр –.

З виразу (5.11) знаходимо

.

У випадку суцільного вала, підставивши, знаходимо

. (5.12)

Для трубчатого вала

.

Отже,

. (5.13)

Таким чином, визначивши діаметри вала із умови міцності та умови жорсткості, вибираємо більший і заокруглюємо до ближчого стандартного, який би дорівнював: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм.

Для визначення величини крутних моментів потрібно знати величину моментів зовнішніх пар сил, що передаються на вал. Останні знаходяться, якщо відома потужність, що передається на вал при відомій кутовій швидкості його обертового руху.

Якщо потужність задана в кіловатах, а швидкість обертання – в радіанах на секунду, то між цими величинами існує залежність

. (5.14)

В більшості випадків при розрахунку вала відома потужність і швидкість обертання –, обертів за хвилину, тоді, виходячи з формули –та формули (5.14), дістаємо