Теоретична та прикладна механіка (стр. 18 )

, (6.15)

де –– перерізуюча сила в даному перерізі; – статичний момент відносно нейтральної осі відсіченої площі; – осьовий момент інерції перерізу відносно нейтральної осі; – ширина перерізу.

Рис. 6. 5

У випадку прямокутника з висотою та шириною (рис.10.5, б) момент інерції та статичний момент частини перерізу відносно нейтральної осі дорівнюють

(6.16)

Вираз (6.15) для дотичного напруження набуде вигляду

. (6.17)

Аналіз формули (6.17) показує, що максимальні дотичні напруження виникають на нейтральній осі балки і дорівнюють:

. (6.18)

Для круглого поперечного перерізу радіуса (Рис. 6.6) відповідні величини у формулі Журавського (6.15) будуть дорівнювати:

а кінцевий вираз для дотичного напруження має вигляд:

. (6.19)

Рис. 6.6

З формули (6.16) легко отримати максимальне значення дотичного напруження в круглому перерізі, поклавши:

. (6.20)

Порівняння формул (6.16)-(6.20) з відповідними результатами теорії пружності показує, що їх похибки не перевищують 5 %. Тому ці формули з достатньою точністю можуть бути застосовані у розрахунках балок на міцність.

6.4. Зігнута вісь балки та її диференціальне рівняння

Поперечні навантаження, що згинають балку, деформують її поздовжню вісь, перетворюючи її в деяку криву (Рис. 6.7). При розрахунках балок на жорсткість необхідно знати прогин у різних точках на осі балки, а максимальний прогин не повинен перевищувати допустимого.

Для того, щоб вивести диференціальне рівняння лінії прогинів балки (або пружної лінії), скористаємось залежністю (6.6) між кривиною i і згинальним моментом. У цій рівності кривину пружної лінії можна наближено замінити другою похідною від прогинів балки

.

Похибка цього наближення еквівалентна величині у порівнянні з одиницею. В результаті, диференціальне рівняння зігнутої осі балки буде мати вигляд

. (6.21)

Якщо вісь ординат направлена вниз, то у рівнянні (6.21) перед величиною згинального моменту необхід-но поставити знак “–”.

Рис. 6.7

У цьому випадку знаки згинального моменту та другої похідної різні. Інтегруючи диференціальне рівняння (6.21), одержимо рівняння зігнутої осі балки у вигляді

, (6.22)

де ;.

Диференціюючи рівняння (6.22) за змінною, одержуємо рівняння кутів повороту поперечних перерізів зігнутої осі балки

. (6.23)

Сталі інтегрування та мають, відповідно фізичний зміст прогину балки та кута повороту її перерізу в початку координатної системи. Їх прийнято називати ще початковими параметрами.

Функція залежить від навантаження балки. У загальному випадку навантажень, які часто зустрічаються на практиці, її можна записати у вигляді

, (6.24)

де , – відстані до точок прикладання зосереджених моментів та сил; – відстані до початку та кінця прикладання розподіленого навантаження.

У рівнянні (6.24) сила і момент діють у перерізі, який співпадає з початком координат. Знаки “+” чи “–” перед усіма величинами залежать від того, у якому напрямку буде переміщуватись від їх дії початок координат пружної лінії балки. Рівняння переміщень пружної лінії балки (6.22), куди входить функція навантажень у вигляді (6.24), називається універсальним рівнянням прогинів. Початкові параметри, , та визначають з умов на опорах балки. Наприклад, для консолі (Рис. 6.6) буде:;;;. Тоді, виходячи із наведених даних, рівняння прогинів консолі матиме вигляд:

. (6.25)

Диференціюючи цей вираз для прогинів, дістанемо рівняння кутів повороту поперечних перерізів консолі

. (6.26)

На вільному кінці консолі, при, маємо:

; ;

; .

Знак “–” для переміщення означає, що воно відбувається у напрямку протилежному до додатного напрямку осі.

Від’ємний знак кута вказує на те, що кінцевий переріз консолі повертається за ходом стрілки годинника.

Що стосується використання функції в універсальному рівнянні прогинів, то необхідно мати на увазі, що врахування кожного з членів у ньому відбувається за умов:.

Список використаної літератури

1.  , І., Інженерна механіка. Частина І. Теоретична механіка. – Вінниця: Нова книга, 2006. – 504 с.

2.  Збірник завдань для самостійної роботи та контролю знань студентів з теоретичної механіки. Кінематика і статика / та ін. – Краматорськ: ДДМА, 2004 –Ч.1.– 128с.

3.  Павловський механіка. – К.: Техніка, 2002. –510 с

4.  Теоретична механіка (Навчально-методичний посібник для студентів технічних спеціальностей). – ХНАМГ, 2007.

5.  Теоретична механіка. Статика. Конспект лекцій (для студентів денної і заочної форм навчання бакалаврів) / За заг. ред. . – ХНАМГ, 2005.

6.  Корнілов О. А. Опір матеріалів. – Київ: Лотос. 2000. – 551 с.

7.  Опір матеріалів з основами теорії пружності й пластичності / за заг. ред. В. Т. Піскунова. У 2-х частинах, 5-ти книгах. – К.: Вища школа. 1994, 1995.

8.  , Квітка О. Л., Опір матеріалів. – К.: Вища школа. 2004. – 655с.

9.  Опір матеріалів. Підручник. Львів: Вид-во Львівського університету. 1973. – 404 с.

10.  Тимошенко Дж. Механика материалов. Изд-во «Мир» (перевод с английского). 1976. – 670 с.

Теоретична та прикладна механіка [Текст]: конспект лекцій для студентів напряму підготовки 6.050403 – „Інженерне матеріалознавство” / уклад. , . – Луцьк: Луцький НТУ, 2016. – 84 с.

Комп’ютерний набір

Редактор

Підп. до друку 2016 р.

Формат 60х84/16. Папір офс. Гарнітура Таймс.

Ум. друк. арк. ___. Обл.-вид. арк. 2,5.

Тираж ____ прим. Зам. 1.

Редакційно-видавничий відділ

Луцького національного технічного університету

43018 м. Луцьк, вул. Львівська, 75

Друк – РВВ Луцького НТУ