Теоретична та прикладна механіка (стр. 16 )

;

.

Отже, при однакових крутних моментах стрижень замкнутого профілю у жорсткіший від стрижня відкритого профілю, а максимальні напруження в ньому у раз менші від напружень, що виникають у стрижні відкритого профілю.

Прийнявши, наприклад, , одержимо значення відношень, а. При збільшенні відношення у два рази – відношення між напруженнями збільшується у стільки ж, а відношення між кутами закруту збільшується вже у чотири рази.

ЗГИН БАЛОК

6.1. Поперечна сила і згинальний момент

Вивчення деформації згину має велике значення у розрахунках елементів конструкцій. Ознакою деформації згину стрижня є зміна кривини його поздовжньої осі. Стрижні, що працюють на згин, називають балками. В інженерній практиці часто виникає необхідність визначення напружень та прогинів у балках. Це зв’язано з проектуванням різних конструкцій та споруд, де максимальні величини напружень і переміщень не повинні перевищувати допустимих. У випадку, коли всі навантаження (а отже і реакції опор), діють в одній площині, згин називають плоским. Якщо деформація осі балки відбувається у площині навантаження, то такий згин називається прямим. Коли ж викривлення осі балки не відбувається у площині навантаження, то такий згин називають косим.

Названі види згину можна одержати тільки за умови забезпечення нерухомості балки, що знаходиться під дією зовнішнього навантаження. Для цього її певним чином закріплюють. Існує три основних типи закріплення:

Рис. 6.1

а) шарнірно – рухома опора (Рис. 6.1, а), у якій виникає тільки одна складова реакції -, що направлена вздовж опорного стрижня;

б) шарнірно – нерухома опора (Рис. 6.1, б), у якій можуть вини - кати дві складових реакціївертикальна та горизонтальна.

в) жорстке защемлення (затиснення), де можуть виникати три складові - вертикальна та горизонтальна реакції, а також опорний момент ( Рис. 6.1, в).

Існують і інші типи закріплень (наприклад, пружні закріплення), але вони в даній лекції розглядатися не будуть.

Розглядаючи балку, яка навантажена довільним навантаженням (Рис. 6.2,а) дослідимо, які внутрішні сили виникають у її перерізах. Для цього використаємо метод перерізів. Розглядаючи рівновагу правої і лівої частини балки, можна зробити

Рис. 6.2

висновок, що для забезпечення їх рівноваги дію відкинутої частини потрібно заміняти однією рівнодійною силою та однією парою з рівнодійним моментом. Силу назвемо поперечною силою, а момент – згинальним моментом (Рис. 6.2, б).

Поперечна сила є рівнодійною внутрішніх сил, що діють у площині поперечного перерізу, а згинальний момент є моментом пари, утвореної внутрішніми силами, перпендикулярними до площини поперечного перерізу.

Отже, в загальному випадку прямого згину в поперечних перерізах балки виникають два внутрішніх силових фактори: поперечна сила і згинальний момент. Такий згин називається поперечним. В окремому випадку, коли зовнішні сили зводяться до пари сил, а поперечна сила дорівнює нулеві, у поперечному перерізі балки виникає лише один згинальний момент. Такий згин називається чистим згином

.

Рис. 6.3

Знак поперечної сили пов’язують з характером деформації зсуву: якщо ця сила намагається зсунути ліву частину балки відносно правої догори (Рис. 6.3, a), то вона додатна, в протилежному випадку – від’ємна. Згинальний момент вважають додатнім, якщо в балці розтягуються нижні волокна (Рис. 6.3,б) і від’ємним – при вигині балки опуклістю догори (розтягуються верхні волокна).

Для визначення залежностей між згинальним моментом, поперечною силою та розподіленим навантаженням розглянемо статичну рівновагу, вирізаного з балки елемента довжиною dx, що навантажений цими зусиллями у вигляді, зображеному на рисунку 10.3, в. При цьому, і згинальні, і поперечні сили, що діють праворуч від елемента, відрізняються від значень ліворуч від нього приростами і.

З умов рівноваги елемента від дії прикладених до нього усіх навантажень, а також допущення, що розподілене навантаження на малому відрізку dx можна вважати рівномірно розподіленим, одержуємо:

звідки (6.1)

звідки, нехтуючи квадратом малої величини, одержимо

. (6.2)

Продиференціювавши вираз (6.2) за змінною х, із врахуван - ням формули (6.1), одержимо

. (6.3)

Аналіз диференціальних залежностей(6.1)- (6.3) веде до наступних висновків:

1. Якщо вирази для згинальних моментів записати поліномами, то степінь полінома для буде на одиницю вищий від степеня полінома для, а степінь полінома для, у свою чергу, буде на одиницю вищий від степеня полінома для.

2. Якщо на певному відрізку балки відсутнє розподілене навантаження -, то на цьому ж відрізку поперечна сила є сталою -, а згинальний момент є лінійною функцією; у випадку, коли -, то поперечна сила є лінійною функцією, а згинальний момент поліномом другого степеня.

3. Рівність нулю у певній точці поперечної сили є умовою екстремальності згинального моменту -. Якщо ж поперечна сила на певному відрізку балки, то тоді на цьому відрізку момент (випадок чистого згину).

6.2. Напруження і деформації при згині

Як було сказано вище, при поперечному згині в перерізах балки виникають поперечна сила і згинальний момент, які є за своєю природою рівнодійними відповідних внутрішніх зусиль.

Поперечна сила, що виникає у площині поперечного перерізу балки, є рівнодійною елементарних дотичних зусиль (Рис. 6.4, а)