Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями Урок: Преобразование рациональных выражений (стр. 16 )

Задача 1. Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого числа отнять 9, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите исходное число.

Решение:

Пусть  искомое число, где x – число десятков, y – число единиц.

(Например, ).

Мы записали искомое число с помощью двух неизвестных.

Что нам известно, чтобы найти x и y?

1.  сумма квадратов цифр равна 13.

2. 

 

 

Мы получили математическую модель – систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Далее следует работа с математической моделью, нужно решить систему:

 

 

 

Ответ: 32.

3. Задача на движение

Задача 2. По окружности длиной 60 м равномерно в одном направлении движутся две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 секунд быстрее другой. При этом совпадение точек происходит каждый раз через 1 минуту. Определите скорости движения точек.

Решение:

Пусть x м/с, y м/с – искомые скорости точек, и пусть  т. е. первая точка движется быстрее, чем вторая, тогда время прохождения одного оборота первой точкой, время прохождения одного оборота второй точкой.

По условию 

Упростив это выражение, получим 

По условию совпадения происходят через 1 минуту, это значит, что за время 1 мин = 60 с между соседними совпадениями точек первая точка пройдет на один круг – 60 м – больше, чем вторая. Со скоростью сближения м/с расстояние в 60 м будет пройдено за 60 с, т. е.

 

 

Мы получили второе уравнение.

Мы получили математическую модель, теперь переходим ко второму этапу – работа с математической моделью.

Необходимо решить систему:

 

Полученную упрощенную систему решаем методом подстановки.

 

 

По теореме Виета 

 

Третий этап: Ответ на вопрос задачи.

 не подходит, т. к.  Значит 

Ответ: 4 м/с; 3 м/с.

4. Задача с геометрическим содержанием

Задача 3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 м, его периметр равен 48 м. Найдите площадь прямоугольного треугольника.

Решение:

Пусть длины катетов (Рис.2).

Тогда  

Мы получили математическую модель. Важно понять, что нам нужно найти не x и y, а  Поэтому при решении системы мы постараемся выделить xy.

Выделим во втором уравнении полный квадрат.

 

 нам известно из первого уравнения, подставляем:

 

 

 

Ответ: 96 .

5. Задача с алгебраическим содержанием

Задача 4. Задуманы два натуральных числа, произведение которых равно 720. Если первое число разделить на второе, то в частном получится 3 и в остатке 3. Какие числа задуманы?

Решение:

Пусть x, y – искомые числа. Тогда по условию задачи составим систему:

 

 

 

 

Ответ: 48 и 15.

6. Вывод, заключение

Мы рассмотрели решение текстовых задач и алгебраического, и геометрического содержания. Еще раз подтвердили, что они сводятся к решению систем уравнений. На следующем уроке мы сделаем обзор по решению систем уравнений.