Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями Урок: Преобразование рациональных выражений (стр. 9 )

Ответ: 

При нанесении корней на координатную ось нужно четко понимать, какая дробь больше, а какая меньше, для этого их необходимо привести к общему знаменателю.

Мы рассмотрели решение довольно сложной системы, которая была нам дана.

5. Задание на составление системы

В следующем примере систему нужно сначала составить.

2. Найти область определения выражения   

Рассмотрим функцию 

Функция существует, когда существуют оба квадратных корня.

Решаем первое неравенство, рассмотрим функцию 

; (Рис. 4).

 

Решаем второе неравенство, рассмотрим функцию 

 (Рис. 5).

 

Вернемся к системе неравенств.

 

Отметим все решения на координатной прямой (Рис. 6).

Ответ: 

6. Заключение

Мы рассмотрели решение рациональных неравенств повышенной сложности, в частности систему из двух дробно-линейных неравенств. Методика остается прежней,  она же будет использоваться и в дальнейшем.

Урок: Метод введения новых переменных

1. Тема урока, введение

На предыдущих уроках для решения систем уравнений применялись графический метод, метод подстановки и метод алгебраического сложения. Сейчас будет рассмотрен метод введения новых переменных.

2. Пример на введение новых переменных

Введение новых переменных позволяет упростить исходную систему. Рассмотрим в качестве примера систему, которая предлагалась на вступительном экзамене в 1979 г. в МГУ на механико-математический факультет.

Пример 1. Решить систему 

Решение.

Полезно ввести новые переменные  

 

Довольно сложная исходная система свелась к более простой. Это система двух линейных уравнений относительно a и b. Решим ее методом алгебраического сложения, вычтем из первого уравнения второе.

  

Мы ввели новые переменные и решили систему относительно этих переменных. Возвращаемся к старым переменным.

 

Мы получили вторую систему двух линейных уравнений относительно x и y.

Решим систему методом подстановки.

 

Ответ: 

3. Основные сведения о квадратных уравнениях

Часто при замене переменных мы получаем квадратное уравнение. Напомним основные сведения о них:

Квадратное уравнение в общем виде: 

Формула корней квадратного уравнения через дискриминант:

Если b – четное число, имеем формулу: 

Напомним теорему Виета: Если  корни квадратного уравнения , то 

Верно и обратное: Если числа  удовлетворяют системе  , то они являются корнями квадратного уравнения .

Напомним прием, который позволяет упростить нахождение корней квадратного уравнения. Умножим квадратное уравнение на  Получим  

Получили новое уравнение относительно новой переменной  

 

Мы получили приведенное квадратное уравнение с целыми коэффициентами (если они были целыми в исходном уравнении).

4. Примеры приведенных квадратных уравнений с заменой переменных

Пример 2. Решить уравнение