Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями Урок: Преобразование рациональных выражений (стр. 1 )

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Преобразование рациональных выражений

1. Рациональное выражение и методика его упрощения

Вспомним сначала определение рационального выражения.

Определение. Рациональное выражение - алгебраическое выражение, не содержащее корней и включающее только действия сложения, вычитания, умножения и деления (возведения в степень).

Под понятием «преобразовать рациональное выражение» мы имеем в виду, прежде всего, его упрощение. А это осуществляется в известном нам порядке действий: сначала действия в скобках, затем произведение чисел(возведение в степень), деление чисел, а затем действия сложения/вычитания.

2. Упрощение рациональных выражений с суммой/разностью дробей

Основной целью сегодняшнего урока будет приобретение опыта при решении более сложных задач на упрощение рациональных выражений.

Пример 1. Упростить рациональное выражение .

Решение. Сначала может показаться, что указанные дроби можно сократить, т. к. выражения в числителях дробей очень похожи на формулы полных квадратов соответствующих им знаменателей. В данном случае важно не спешить, а отдельно проверить так ли это.

Проверим числитель первой дроби: . Теперь числитель второй: .

Как видно, наши ожидания не оправдались, и выражения в числителях не являются полными квадратами, т. к. у них отсутствует удвоение произведения. Такие выражения, если вспомнить курс 7 класса, называют неполными квадратами. Следует быть очень внимательными в таких случаях, т. к. перепутывание формулы полного квадрата с неполным очень частая ошибка, а подобные примеры проверяют внимательность учащегося.

Поскольку сокращение невозможно, то выполним сложение дробей. У знаменателей нет общих множителей, поэтому они просто перемножаются для получения наименьшего общего знаменателя, а дополнительным множителем для каждой из дробей является знаменатель другой дроби.

 

Конечно же, далее можно раскрыть скобки и привести затем подобные слагаемые, однако, в данном случае можно обойтись меньшими затратами сил и заметить в числителе первое слагаемое является формулой суммы кубов, а второе разности кубов. Для удобства вспомним эти формулы в общем виде:

 и .

В нашем же случае выражения в числителе сворачиваются следующим образом:

, второе выражение аналогично. Имеем:

.

Ответ..

Пример 2. Упростить рациональное выражение .

Решение. Данный пример похож на предыдущий, но здесь сразу видно, что в числителях дробей находятся неполные квадраты, поэтому сокращение на начальном этапе решения невозможно. Аналогично предыдущему примеру складываем дроби:

, здесь мы аналогично способу, указанному выше, заметили и свернули выражения по формулам суммы и разности кубов.

Ответ..

Пример 3. Упростить рациональное выражение .

Решение. Можно заметить, что знаменатель второй дроби раскладывается на множители по формуле суммы кубов. Как мы уже знаем, разложение знаменателей на множители является полезным для дальнейшего поиска наименьшего общего знаменателя дробей.

.

Укажем наименьший общий знаменатель дробей, он равен: , – т. к. делится на знаменатель третьей дроби, а первое выражение вообще является целым и для него подойдет любой знаменатель. Указав очевидные дополнительные множители, запишем:

.

Ответ.

3. Упрощение рациональных выражений со сложными «многоэтажными» дробями

Рассмотрим более сложный пример с «многоэтажными» дробями.

Пример 4. Доказать тождество  при всех допустимых значениях переменной.

Доказательство. Для доказательства указанного тождества постараемся упростить его левую часть (сложную) до того простого вида, который от нас требуется. Для этого выполним все действия с дробями в числителе и знаменателе, а затем разделим дроби и упростим результат.

. Доказано при всех допустимых значениях переменной.

Доказано.

На следующем уроке мы подробно рассмотрим более сложные примеры на преобразование рациональных выражений.

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Преобразование более сложных рациональных выражений

1. Пример на доказательство тождества с помощью преобразований рациональных выражений

На этом уроке мы рассмотрим преобразование более сложных рациональных выражений. Первый пример будет посвящён доказательству тождества.

Пример 1

Доказать тождество: .

Доказательство:

В первую очередь при преобразовании рациональных выражений необходимо определиться с порядком действий. Напомним, что в первую очередь выполняются действия в скобках, затем умножение и деление, а затем уже сложение и вычитание. Поэтому в данном примере порядок действий будет таким: сначала выполним действие в первых скобках, затем во вторых скобках, затем поделим полученные результаты, а затем к полученному выражению добавим дробь. В результате этих действий, а также упрощения, должно получиться выражение .

Действие №1: 

Действие №2: 

Действие №3: