Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями Урок: Преобразование рациональных выражений (стр. 17 )

Тема: Числовые функции

 Урок: Задачи на нахождение области определения и области значения функции в более сложных случаях 

1. Вступление

Важными характеристиками конкретных функций являются область определения и область значений. На уроке будут  рассматриваться задачи на нахождение области определения, области значений функции, сопутствующие задачи на функции, включая задачи с параметрами.

2. Задача 1

Найдите область определения функции  .

Решение. Область определения задается неравенством

Рис. 1. Область определения функции 

Ответ: 

3. Задача 2

Найдите область определения функции  .

Решение. Область определения задается системой

Рис. 2. Область определения функции  

Ответ: 

4. Задача 3

Найдите область определения и область значения функции  Изобразите схематически ее графики.

Решение.

1. Область определения задается неравенством (см. Рис. 3)

 .

2. Под корнем имеем функцию , где (см. Рис. 4). Область значения этой функции  Поскольку  и  то .

Ответ: 

 

Рис. 3. График функции 

Рис. 4. График функции  при .

 

Рис. 5. Схематический график функции .

3. Схематический график функции  изображен на Рис.5.

.

.

x	-4	0	4
y	0	4	0

5. Примечание

На примере данной функции иллюстрируется связь между областью значения, областью определения и графиком.

1. Проекция графика функции  на ось  - область определения:  (см. Рис. 6).

Рис. 6. Проекция графика функции на ось .

2. Область значений функции  – проекция графика на ось .

6. Сопутствующая задача с параметром

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение  имеет хотя бы одно решение.

Решение. Строится график функции  .

Пересечение прямой  и графика функции существует тогда и только тогда, когда (см. Рис. 7).

Ответ: 

 

Рис. 7. График функций 

7. Задача с кусочно заданной функцией

а. Найдите 

б. Вычислите 

в. Постройте график функции.

г. Найдите 

д. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение  имеет хотя бы одно решение.

Решение.

в. Построим график функции  (см. Рис. 8).

 

Рис. 8. График функции f(х) 

С помощью графика решим остальные задачи.

а. Область определения  – проекция графика на ось  

б. Из графика (см. Рис. 9 ) не существует.

Рис. 9. График функции f(x) и ее значение в соотвествующих точках 

г.  Область значения  – проекция графика на ось  

д. Искомое множество совпадает с областью значения функции. Значит  .

8. Итог урока

На уроке были рассмотрены задачи на нахождение области определения и области значений конкретных функций. Рассмотрены сопутствующие задачи, включая задачи с параметрами.