Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями Урок: Преобразование рациональных выражений (стр. 2 )

Действие №4: 

Доказано

2. Пример на преобразование сложного рационального выражения

Рассмотрим теперь пример на упрощение рационального выражения.

Пример 2

Упростить выражение: .

Решение:

И снова нам необходимо определить порядок действий данного примера. Сначала необходимо выполнить действие в скобках. Затем полученное выражение поделить на дробь, которая стоит за скобками.

Действие №1: 

Действие №2: 

Ответ: .

Итак, мы рассмотрели более сложные случаи преобразования рациональных выражений. Все рассмотренные примеры и методы в дальнейшем нам очень пригодятся.

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Первые представления о решении рациональных уравнений

1. Понятие рационального уравнения и повторение преобразования рациональных выражений

Определение. Рациональное уравнение – это уравнение вида  и все уравнения к нему сводящиеся, где  и  – многочлены.

Заметим, что решение множества рациональных уравнений основано на технике преобразования рациональных выражений, которую мы подробно рассматривали на предыдущих уроках. Начнем с повторения технологии подобных преобразований и решим несколько примеров.

Пример 1. Выполните подстановку и упростите выражение , где .

Решение. Вынесем  за скобку:

.

Применим стандартный подход к упрощению подобных сложных выражений и выполним преобразования по действиям: сначала упростим выражение в скобках, а затем умножим на . Подставим значение переменной  в выражение в скобках:

, после сокращений и сложения дробей получили упрощенный результат.

Теперь перейдем ко второму действию и умножим полученное выражение на значение :

.

Ответ. .

2. Доказательство рациональных тождеств и их связь с рациональными уравнениями

Пример 2. Доказать тождество .

Доказательство. Можно задачу сформулировать и по-другому: «Решить уравнение» – т. е. найти все значения , при которых выполняется указанное равенство. Начнем, все же, с доказательства тождества.

Заметим, что в знаменателе второй дроби находится сумма кубов:

.

Легко увидеть, что полученные множители являются знаменателями двух других дробей, находящихся в первых скобках, следовательно, знаменатель второй дроби является наименьшим общим знаменателем для всех трех дробей в скобке. Аналогично предыдущему примеру преобразуем данное выражение по действиям и начнем с первой скобки. Складывая и вычитая дроби, укажем дополнительные множители:

.

Вторым действием упростим выражение во второй скобке:

.

Теперь перемножим полученные выражения:

, после первого сокращения в знаменателе умножим две одинаковые скобки, а выражение в числителе свернем по формуле полного квадрата суммы.

Доказано.

Теперь вернемся к самому тождеству и попробуем рассмотреть его, как уравнение. Напомним, что решить уравнение – это найти все значения , которые удовлетворяют уравнению.

Решение. Мы уже доказали, что левая часть тождества тождественно равна правой при всех допустимых значениях переменной. Вот именно «допустимые значения переменной» в данном случае и являются важной фразой, ведь выражения с дробями, которые содержат переменную в знаменателе, могут иметь смысл не при всех значениях этой переменной.

Левая часть рассматриваемого выражения имеет смысл, когда знаменатели входящих в нее дробей не равны нулю:

1) Первый и четвертый знаменатели: .

2) Поскольку второй знаменатель раскладывается на первый и третий, то сначала рассмотрим третий знаменатель:  при любых значениях переменной . Докажем это. Для этого выдели полный квадрат в исследуемом выражении:

.

Попробуем объяснить, зачем мы проделали подобные действия. Поскольку в исходном выражении старшая степень  и линейный член  вычитаются, то мы будем приводить его к квадрату разности по формуле: . Для этого из старшей степени с коэффициентом выделим квадрат , а из линейного члена выделим удвоенное произведение , тогда в роли квадрата второго коэффициента будет выступать . Но, поскольку мы прибавили член , которого в исходном выражении не было, то нам его придется и вычесть, а затем прибавить оставшуюся единицу, которую мы не преобразовывали. В итоге получаем: