Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями Урок: Преобразование рациональных выражений (стр. 3 )

при любых значениях переменной . Мы воспользовались неотрицательностью квадратичного выражения.

Имеем, что знаменатель третьей дроби не равен нулю ни при каких значениях переменной .

3) Знаменатель второй дроби раскладывается на множители, которые представляют собой знаменатели первой и третьей дробей, а поскольку из них только значение первого может равняться нулю, а второго нет, то: , т. е. уже найденное ранее ограничение на допустимые значения переменной.

Таким образом, мы указали, что вся левая часть выражения имеет смысл при всех допустимых значениях переменной, т. е. при , что и является решением уравнения.

Ответ..

Пример 3. Докажите тождество .

Доказательство. Проделаем преобразования по действиям. Упростим выражение в первой скобке. Для этого укажем наименьший общий знаменатель трех дробей, он равен , т. к. именно это выражение делится на все знаменатели одновременно. По известному нам алгоритму укажем и дополнительные множители:

.

В числителе полученной дроби нам придет воспользоваться формулами куба суммы и куба разности, которые мы сейчас вспомним в общем виде:

– куб суммы;

– куб разности.

Применим эти формулы для упрощения числителя и откроем в нем все скобки, а затем приведем подобные слагаемые:

, подставим это выражение в упрощаемую дробь и перепишем знаменатель в виде квадрата разности квадратов:

.

Перейдем ко второму действию, в котором умножим упрощенную нами первую скобку на указанную дробь, но перевернутую, т. к. на нее изначально требуется разделить. При этом, во второй дроби разность четвертых степеней разложим, как разность квадратов квадратичных элементов:

.

В третьем действии вычтем из полученного выражения последнюю дробь, т. к. мы можем поменять перед ней знак на противоположный, чтобы в знаменателе получить разность, аналогичную знаменателю полученной выше дроби.

.

Доказано.

Мы повторили методы упрощения довольно сложных рациональных выражений. Теперь можем перейти к решению непосредственно рациональных уравнений, преобразования в которых, как правило, легче.

3. Решение простейших рациональных уравнений

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Начнем, как обычно, с упрощения рационального выражения, указанного в левой части уравнения. Для этого найдем наименьший общий знаменатель дробей, дополнительные множители и вычтем их:

.

На данном этапе решения акцентируем внимание на важном правиле решения рациональных уравнений:дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

В нашем случае в знаменателе уже имеется число не равное нулю, поэтому имеем линейное уравнение из числителя:

.

Ответ..

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Для того, чтобы воспользоваться правилом решения рациональных уравнений, перенесем все в левую сторону, чтобы справа получился ноль:

.

Для упрощения выражения, находящегося слева, сложим/вычтем дроби по хорошо известному нам алгоритму. Наименьший общий знаменатель дробей: .

.

В конце мы воспользовались уже сформулированным правилом решения рациональных уравнений (дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю). Полученные ограничения на область допустимых значений переменной не повлияли на полученный корень уравнения.

Ответ..

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели основы техники решения рациональных уравнений и убедились, что, прежде всего, она базируется на умении преобразовывать рациональные выражения.

На следующем уроке мы продолжим работать с рациональными уравнениями.

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Решение рациональных уравнений

1. Пример решения рационального уравнения, являющегося математической моделью текстовой задачи

Как вы уже успели заметить на предыдущем уроке, основа решения рациональных уравнений – техника преобразования рациональных выражений. Рассмотрим пример решения рационального уравнения.

Пример 1

Решить уравнение: .

Решение:

В первую очередь обратим внимание на то, что в числителях обеих дробей, а также в правой части уравнения стоят чётные числа. То есть, можно упростить уравнение, поделив обе его части на . Этот шаг не является обязательным, но, чем проще уравнение, тем легче его решать, а чем меньше числа, фигурирующие в уравнении, тем легче арифметические вычисления при его решении.

В результате сокращения получаем:

Теперь перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить справа , а затем приведём полученные в левой части дроби к общему знаменателю: