Словарь (стр. 26 )

(рис. 1), причём θ2=π/2-θ1. Если ве­личины σu и θ≡θ1 определены как функции процесса (функционалы), то написанное выражение для о даёт связь между напряжениями и дефор­мациями.

В общем случае сложного напря­жённого состояния процесс изменения девиатора деформации изображается в пятимерном пространстве траектори­ей деформации, внутр. геометрия к-рой описывается кривизнами k1(s), k2(s), k3(s), k4(s), а репер Френе определяется пятью единичными векторами р1, p2, p3,,p4, p5. Параметрами, определяю­щими процесс деформации, явл.: ори­ентация траектории, её внутр. геомет­рия (кривизны), давление q, темп-pa Т и скорость деформации s=ds/dt, за­данные как ф-ции длины дуги s. Век­тор напряжений а определяется моду­лем |σ|= σu и углами ориентации:

Задачей теории явл. установление за­висимости величин σu, θ1, θ2, θ3, θ4, θ5 от параметров произвольного процесса деформации.

Осн. законом теории упругопластич. процессов явл. постулат изотропии , согласно к-рому для изотропного материала модуль вектора напряжении и углы его ориентации в репере Френе однозначно определя­ются изменением параметров процесса от его начала до текущего момента, т. е. они явл. функционалами, порождае­мыми ф-циями k1(s), k2(s), k3(s), k4(s), q(s), T(s), s(s), и не зависят от ориен­тации траектории деформации. Дейст­вительно, в опытах обнаружено, что если в трёх одинаковых образцах из изотропного материала, испытывае­мых, напр., при совместном растяже­нии и кручении, осуществить процессы деформации OL, OL', OL" (рис. 3) с одинаковой внутренней геометрией k(s)=k'(s)=k"(s) (траектория OL' по­строена путём отражения OL в нек-ром луче ОА, а траектория OL" -- пово­ротом OL на нек-рый угол), то в точках М, М', М" с одинаковыми значениями длины дуги (ОМ=ОМ'=ОМ") модули векторов напряжений и углы их ори­ентации одинаковы: σu=σ'u=σ"u; θ=θ1. Т. о., равенство (3) даёт об­щий вид зависимости между напряже­ниями и деформациями при произволь­ном процессе нагружения. Определе­ние функционалов пластичности по данным опытов чрезвычайно затрудни­тельно и пока предложены способы построения лишь части из них.

Рис. 3. Графики процессов с одинаковой внутренней геометрией k(s).

Другое фундаментальное св-во пла­стичности изотропного материала от­ражает принцип запаздывания: значе­ния углов ориентации вектора напря­жений в репере Френе зависят от из­менения кривизн не на всей предшест­вующей траектории деформации, а лишь на последней её части, длина к-рой, характерная для данного мате­риала, наз. с л е д о м з а п а з д ы в а н и я. Это св-во позволило выде­лить неск. типов процессов (простой деформации, малой кривизны, средней кривизны, двухзвенных), для к-рых соотношения между напряжениями и упругопластич. деформациями уста­новлены конкретно и не содержат фун­кционалов.

Т е о р и я т е ч е н и я. Тензор напряжений σij представляется в ше­стимерном пространстве точкой нагру­жения N, или вектором напряжений

σ=ON. В процессе нагружения σij(t) точка N очерчивает траекторию нагру­жения (рис. 4). Деформация представ­ляется в виде суммы упругой и плас-

546

тической. Упругая часть деформации связана с напряжениями обобщённым законом Гука. Все напряжённые со­стояния, к-рые могут быть достигнуты из начального состояния без возникно­вения пластич. деформаций, распола­гаются на нек-рой поверхности F, наз. начальной п о в е р х н о с т ь ю т е к у ч е с т и. При выходе точки нагружения N за пределы поверхности F (активный процесс, нагрузка) изме­няются величины упругой и пластич. деформации и форма поверхности теку­чести (процесс NN' и новая, мгновен­ная поверхность текучести F'). Если затем точка нагружения перемещается внутрь мгновенной поверхности теку­чести (процесс N'N"), то изменяется только упругая деформация, а пластич. деформация и поверхность текучести

Рис. 4. Траектория нагружения ON и по­верхности текучести F для активного NN' и пассивного NN" процессов.

неизменны (пассивный процесс, раз­грузка). Конфигурация поверхности текучести явл. функционалом процес­са нагружения.

В основе теории течения лежит по­стулат пластичности, согласно к-рому работа напряжений на замкнутом цик­ле напряжений (деформаций), не мо­жет быть отрицательна, откуда следу­ет, что вектор скорости пластич. де­формации εp направлен по нормали к мгновенной поверхности текучести в точке нагружения N. Это приводит к соотношениям:

где εpmn — компоненты тензора плас­тич. деформации, точками сверху обоз­начены производные по времени. Т. н. функция упрочнения Н явл. функцио­налом предшествующего процесса нагружения и зависит от скоростей из­менения напряжений. Построить функ­ционал F практически невозможно, поэтому вводятся т. н. гипотезы упроч­нения, т. е. упрощающие предположе­ния об изменении поверхности теку­чести, а соотношения (4) линеаризу­ют, т. е. пренебрегают зависимостью Н от скоростей напряжений. В таком виде теория течения пригодна для ог­раниченного класса процессов.

Т е о р и я с к о л ь ж е н и я.

Этим термином объединяется ряд П. т.,

в к-рых рассматривается поликрист. агрегат (напр., металл). Для описа­ния пластичности отдельного зерна используется одна из простейших тео­рий пластичности (напр., теория иде­альной пластичности), Поликрист. аг­регат рассматривается как статистич. ансамбль с равновероятным распреде­лением форм и размеров зёрен, су­ществующих как бы в одной точке, и преимущественных плоскостей сколь­жений. Условия кинематич. и динамич. контакта между зёрнами учитываются не полностью. Путём статистич. ана­лиза разыскивается связь между на­пряжениями и деформациями в макро­объёме агрегата.

т. Матем. задача П. т. сводится к разысканию компо­нентов вектора перемещения, тензора деформации и тензора напряжений как ф-ций координат и времени, к-рые при заданных в объёмах тела массо­вых силах и темп-ре, усилиях на одной части граничной поверхности и пере­мещениях на другой части поверхно­сти должны удовлетворять дифф. ур-ниям движения (или равновесия), ур-ниям связи между деформациями и перемещениями, ур-ниям связи меж­ду напряжениями деформациями и темп-рой (законам пластичности), гра­ничным и нач. условиям. Система этих ур-ний составляет краевую задачу П. т.

Формулировка матем. задачи П. т. отличается от краевой задачи упруго­сти теории только тем, что соотноше­ния обобщённого закона Гука заменя­ются соотношениями той или иной П. т. При использовании теории идеальной пластичности (и др. теорий течения) вместо перемещений и де­формаций разыскиваются скорости ч-ц и тензор скоростей деформации. При использовании соотношений пластич­ности, относящихся к частным клас­сам процессов, требуется анализ физ. достоверности решения краевой зада­чи, т. к. в большинстве случаев не выяснены те условия нагружения тела произвольной формы, при к-рых во всех точках тела протекают процессы деформации определённого типа. В те­ории упругопластич. процессов дан общий метод установления физ. дос­товерности решений.

• , Пластичность, ч. 1, .—Л., 1948; его же. Пластичность. Ос­новы общей математической теории, М., 1963; , Теория пластичности, 3 изд., М., 1969; X и л л Р., Математическая теория пластичности, пер. с англ., М., 1956.

, .

ПЛАСТИЧНОСТЬ (от греч. plastikos — годный для лепки, податливый), свойство материалов тв. тел сохранять часть деформации при снятии нагру­зок, к-рые её вызвали. Пластич. де­формации испытывают детали конст­рукций и сооружений, заготовки при обработке давлением (прокатке, штам­повке и т. п.), пласты земной коры и др. объекты. позволяет опре­делять запасы прочности, деформиру­емости и устойчивости, расширяет

возможности создания конструкций миним. веса. В ряде совр. конструк­ций П. обеспечивает их наиболее ра­циональное функционирование, на­дёжность и безопасность, повышает со­противляемость тел ударным нагруз­кам, снижает концентрацию напряже­ний.

При растяжении цилиндрич. образ­ца обнаруживают предел текучести σs; при напряжениях σ≤σs деформа­ция ε обратима (упруга) и связана с σ Гука законом σ=Еε (Е — модуль Юн­га). При дальнейшем увеличении рас­тягивающей силы зависимость σ~ε становится нелинейной и необратимой (рис.). Возрастание а с увеличением 8 наз. упрочнением. При раз­грузке от напряжения σ>σs (точка М) зависимость σ~ε изображается прибл.

прямолинейным отрезком MN, па­раллельным нач. участку упругости ОА. Часть деформации εe=NM1=σ/Е — упругая (обратимая). Отрезок εp=ON — остаточная, или п л а с т и ч е с к а я, деформация, к-рая неизменна при разгрузке и воз­растает при непрерывном нагружении ОАВ и при повторной нагрузке после достижения напряжения а, с к-рого была произведена разгрузка (рис.). В сложном напряжённом состоянии пластич. деформация появляется впер­вые при интенсивности напряжений σu≥σs (условие П. Г е н к и — М и з е с а) или когда наибольшее касат. напряжение τma≥τs (где τs — предел текучести при сдвиге) — условие П. Треска — Сен-Венана. При этом тензор деформации (см.