Словарь (стр. 5 )

Рис. 1. Связь между изменениями ёмкости С конденсатора (а), заряда q на его обкладках (б) и напря­жения U (в) при па­раметрич. резонансе в колебат. контуре.

измениться не может (иначе ток I=aq/dt→∞, рис. 1, б). В результате на­пряжение на ёмкости U=q/C и электрич. энергия Wэ=q2/2C изменяются обра­тно пропорц. С, причём совершаемая при этом работа пропорц. q2. Если из­менять ёмкость С периодически в такт с изменениями Wэ (обусловленными собств. колебаниями), уменьшая её в моменты, когда │q│ и Wэ максималь­ны, и увеличивая, когда эти величины равны нулю (рис. 1), то в среднем за период над системой совершается

работа и, следовательно, полная энер­гия и амплитуда колебаний будут мо­нотонно нарастать.

Раскачка колебаний возможна при изменении С или L по любому перио­дич. закону с периодом Тн или часто­той ωн, определяемыми соотношения­ми:

где n — целое число. Наиболее эфф. раскачка имеет место при n=1, когда частота накачки ωн равна частоте колебаний Wэ и Wм в системе ω0. Нарастание колебаний возможно не только при точном выполнении соот­ношения (1), но и в нек-рых конечных интервалах значений ωн вблизи ω0 (в зонах неустойчивости), ширина зон тем больше, чем сильнее изменяют­ся параметры С и L. Изменение па­раметра, напр. ёмкости С, характеризуют величиной m=(Cмакс-Cмин)/(Cмакс+Cмин)

наз. глубиной изменения параметра (рис. 2).

П. р. приводит к нарастанию малых нач. возмущений, напр. неизбежных

Рис. 2. Области зна­чений m, в к-рых возможен параметрич. резонанс; ω0 — частота собств. ко­лебаний, ωн — часто­та накачки (изменения параметра).

во всякой системе флуктуации, среди к-рых всегда найдётся составляющая с подходящей фазой по отношению к фазе изменения параметров, т. е. к самовозбуждению колебаний. В от­сутствии потерь энергии самовозбуж­дение наступает при сколь угодно малом изменении параметров. Если же в системе имеются потери (напр., в контуре присутствует сопротивление Л), то самовозбуждение происходит только при достаточно больших изме­нениях С или L, когда параметрич. накачка энергии превосходит потери. Зоны неустойчивости при этом соот­ветственно уменьшаются или даже исчезают совсем (при больших поте­рях). Нарастание колебаний при П. р. не происходит беспредельно, а огра­ничивается при достаточно больших амплитудах разл. нелинейными эф­фектами. Напр.: зависимость сопротив­ления Л от тока в контуре может приводить к увеличению потерь по мере возрастания амплитуды колеба­ний, а зависимость ёмкости от напря­жения на ней — к изменению перио­да собств. колебаний Т0 и в результа­те — к увеличению расстройки между значениями ωн и ω0/2n. Равновесие наступает тогда, когда параметрич. накачка энергии в среднем за период компенсируется джоулевыми потерями (см. Параметрическая генерация и усиление электромагнитных колеба­ний).

520

Пример механич. системы, в к-рой возможен П. р.,— маятник в виде груза массы т, подвешенного на нити, длину l к-рой можно изменять (рис. 3). Маятник с неподвижной точкой под­веса совершает собств. колебания с частотой ω0=√g/l, причём сила на­тяжения нити (равная по величине сумме центробежной силы и состав­ляющей силы тяжести, направленной

Рис. 3. а — устройство маятника с пере­менной длиной l подвеса; б — схема движе­ния тела маятника за один период.

вдоль нити) максимальна в нижнем положении груза и минимальна в крайних. Поэтому если уменьшать l в нижнем и увеличивать в крайних по­ложениях [при этом снова выполняет­ся соотношение (1)], то работа внеш. силы, совершаемая в среднем за пе­риод, оказывается положительной и колебания могут раскачиваться. На П. р. основано самораскачивание на качелях, когда эфф. длина маятника периодически изменяется при присе­даниях и вставаниях качающегося. П. р. учитывается в небесной механи­ке при расчёте возмущений планетных орбит, вызванных влиянием др. пла­нет.

В колебат. системах с неск. степе­нями свободы (напр., в системе из двух связанных контуров, маятников и др.) возможны нормальные колеба­ния (моды) с разл. частотами ω1, ω2. Поэтому колебания энергии, запасён­ной в к.-л. реактивном элементе, со­держат не только составляющие с ча­стотами 2ω1, 2ω2, но и с частотами, равными суммам и разностям разл. нормальных частот. Соответственно нарастание колебаний здесь возможно как при выполнении условия (1) для любой из норм. частот, так и, напр., при изменении параметра с суммарной частотой:

ωн =ω1+ω2. (2)

П. р. приводит к самовозбуждению обоих норм. колебаний с определ. соотношением фаз. Резонансная связь мод возможна также при ωн=ω1-ω2, однако при этом вместо самовозбуж­дения происходит лишь периодич. перекачка энергии между модами. Соотношение (2) выражает закон сох­ранения энергии при распаде кванта «накачки» с энергией ћω на два кван­та: ћω1 и ћω2. Отсюда следует также, что мощность Рн, поступающая в ко­лебат. систему на частоте ωн, и мощ­ности P1,P2 потребляемые на частотах ω1 и ω2, пропорц. соответствующим частотам (частный случай т. н. соот­ношений Мэнли — Роу):

Pн/ωн=P1/ω1=P2/ω2 (3)

В колебат. системах с распределён­ными параметрами, обладающих бесконечным числом степеней свобо­ды, также возможно возбуждение норм. колебаний в результате П. р. Классич. пример — опыт Мельде (1859), в к-ром наблюдалось возбуж­дение поперечных колебаний (стоя­чих волн) в струне, прикреплённой одним концом к ножке камертона,

колебания к-рого периодически ме­няют натяжение струны (рис. 4) с час­тотой, вдвое большей частоты собств. поперечных колебаний. П. р. может приводить к раскачке изгибных коле­баний вращающихся валов. Др. при­мер — опыт Фарадея (1831), в к-ром вертикальные колебания сосуда с во­дой приводят к возбуждению стоячей поверхностной волны с удвоенным периодом.

Рис. 4. Параметрич. возбуждение колеба­ний струны.

Существенная особенность П. р. в системах с распределёнными парамет­рами состоит в том, что его эффектив­ность зависит от соотношения между законом изменения параметров систе­мы в пр-ве и пространств. структурой колебаний (волн). Напр., если на­качка, изменяющая параметры среды, представляет собой бегущую волну с частотой ωн и волновым вектором kн, то возбуждение пары норм. волн с частотами ω1, ω2 и волн. векторами k1, k2 осуществляется, если выполня­ются условия П. р. как во времени, так и в пр-ве:

ωн=ω1+ω1; kн=k1+k2. (4)

На квант. языке эти условия, обоб­щающие (2), означают, что при рас­паде кванта накачки сохраняются как энергия, так и импульс (ћk). Нарастание амплитуд волн во време­ни и пр-ве (распадная неустойчивость) также ограничивается нелинейными эффектами: если значит. часть энергии накачки израсходована на возбужде­ние этих волн, то возможен обратный процесс — рост энергии накачки за счёт ослабления волн на частотах ω1, ω2; в среде без потерь такой обмен энергией происходит периодически. Параметрические и нелинейные резо­нансные вз-ствия волн характерны, напр., для разл. типов волн в плазме, мощных световых волн (см. Парамет­рический генератор света), волн в электронных пучках и др. волн. процессов.

• , Лекции по теории колебаний, М., 1972; Х а я с и Т., Нелинейные колебания в физических систе­мах, пер. с англ., М., 1968; Нелинейная механика, пер. с нем., М., 1961, ч. 2, гл. 3; С и л и н В. П., Парамет­рический резонанс в плазме, М., 1965.