Оглавление (стр. 11 )

Тема 2 (8). Случайные величины. Математическое ожидание.

Для вероятностного пространства общего вида сохраняется определение случайной величины как функции , однако добавляется требование, заключающееся в том, что прообраз каждого борелевского множества должен являться событием.

Определение. Пусть - вероятностное пространство, - множество действительных чисел, - - алгебра борелевских множеств. Случайной величиной называется отображение , обладающее свойством , где - прообраз множества при отображении .

*Определение. Случайная величина называется простой, если ее можно представить в виде , где - действительные числа, ,

система множеств является разбиением , то есть обладает свойствами:

*Определение. Интегралом Лебега от простой случайной величины (или математическим ожиданием этой случайной величины) называется выражение , если ряд в правой части сходится абсолютно.

*Лемма. Значение не зависит от способа представления в виде , то есть, если , то .

Без доказательства.

*Теорема. Если и - простые случайные величины, и существуют интегралы и , то - также простая случайная величина, и справедливо равенство .

Доказательство.

Пусть , . Тогда и можно представить, соответственно, в виде , , где . Таким образом, справедливо равенство , то есть является простой случайной величиной. Имеем далее: , что и доказывает утверждение теоремы.

*Теорема. Для простой случайной величины и действительного числа справедливо равенство .

Доказательство.

Имеем: , , , что и требовалось доказать.

*Теорема. Если  - простая случайная величина, то справедливо неравенство .

Доказательство.

Пусть . Имеем: , что и требовалось доказать.

*Теорема. Если последовательность простых случайных величин равномерно сходится к случайной величине , то последовательность интегралов фундаментальна в смысле Коши.

Доказательство.

В самом деле, имеем:

*Теорема. Для любой случайной величины существует последовательность простых случайных величин, сходящихся к равномерно.

Доказательство.

Определим при всех натуральных и целых множества .

Положим , . Тогда из неравенства вытекает, что при , равномерно по , что и требовалось доказать.

*Определение. Пусть - последовательность простых случайных величин, сходящаяся к случайной величине равномерно. Положим (если предел правой части существует).

*Замечание. Можно показать, что значение не зависит от способа представления в виде . В частности, с учетом теоремы справедливо равенство .

*Теорема. Пусть и - случайные величины, и существуют. Тогда также существует и справедливо равенство .

Доказательство.

Пусть , . Тогда имеем: , что и требовалось доказать.

*Теорема. Справедливо равенство .