Оглавление (стр. 5 )

.

Определение. Пусть задана случайная величина . Математическое ожидание данной случайной величины обозначается и определяется равенством .

Замечание. Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины.

Пример. Математическое ожидание случайной величины из нашего примера равно

.

Теорема. Математическое ожидание случайной величины обладает следующими свойствами:

       1). , где - некоторая константа;

       2). , где и - случайные величины,

       и - действительные числа;

       3). ;

       4). ;

       5). .

Доказательство.

1). ;

2);

3) вытекает из 2)  при ;

4) вытекает из 2)  при ;

5) вытекает из 2)  при .

Следующая теорема позволяет вычислять математическое ожидание случайной величины, зная только её распределение.

Теорема. Пусть распределение случайной величины задается таблицей

Тогда математическое ожидание данной случайной величины можно вычислять по формуле .

Доказательство.

Справедлива цепочка равенств

, что и требовалось доказать.

Теорема. Пусть распределение случайной величины задано таблицей

-некоторая функция. Тогда справедливо равенство . В частности, верна формула  .

Пример. Если распределение случайной величины задано таблицей

	0	1	2

то выполняются равенства ,

.

       Часто бывает важно знать не только среднее значение случайной величины, но и разброс её значений вокруг среднего. Для характеристики разброса служит дисперсия случайной величины.

Определение. Дисперсия случайной величины обозначается и определяется равенством .

Теорема. Дисперсия случайной величины обладает следующими свойствами:

       1). ;

       2).

       3). ;

       4).

Доказательство.

1).

  ;

2). ;

3). =

  ;

4).

 

  .

Определение. Ковариация случайных величин и обозначается и определяется равенством .