Оглавление (стр. 13 )

*Доказательство.

Сначала предположим, что является простой функцией, то есть принимает лишь счетное множество значений: , где . Тогда случайная величина имеет дискретное распределение. Следовательно, справедлива цепочка равенств:

Таким образом, требуемое равенство справедливо для простых функций . Для произвольных измеримых функций оно получается путем предельного перехода.

Следствие. В условиях теоремы справедливы равенства:

, .

Рассмотрим некоторые абсолютно – непрерывные распределения.

Равномерное распределение на отрезке .

Данное распределение задается плотностью:

Найдем и .

Нормальное распределение с параметрами .

Плотность данного распределения имеет вид

Нетрудно проверить, что смысл параметров и таков: , . С нормальным распределением мы еще встретимся, так как оно играет в теории вероятностей очень важную роль.

Показательное распределение с параметром .

Показательное распределение имеет плотность

Справедливы равенства , .

Постоянные множители находятся из условия .Например, если бы нам было известно, что плотность имеет вид то мы бы нашли таким образом:

Контрольные вопросы.

*Что такое индикатор события? *Как определяется простая случайная величина? *Как вычисляется математическое ожидание простой случайной величины? *Какими свойствами обладает математическое ожидание простой случайной величины? *Какими свойствами обладает математическое ожидание случайной величины? Что такое распределение случайной величины? *Какими свойствами обладает распределение случайной величины? Как определяется дискретное распределение? По какой формуле вычисляется математическое ожидание дискретной случайной величины ? По какой формуле вычисляется математическое ожидание квадрата дискретной случайной величины ? По какой формуле вычисляется дисперсия дискретной случайной величины ? Как определяется абсолютно-непрерывное распределение? Какими свойствами обладает плотность распределения? По какой формуле вычисляется математическое ожидание абсолютно-непрерывной случайной величины ? По какой формуле вычисляется математическое ожидание квадрата абсолютно-непрерывной случайной величины ? По какой формуле вычисляется дисперсия абсолютно-непрерывной случайной величины ? Как определяется плотность равномерного распределения на отрезке ? Чему равно математическое ожидание случайной величины , имеющей равномерное распределение на отрезке ? Чему равна дисперсия случайной величины , имеющей равномерное распределение на отрезке ? Как определяется плотность нормального распределения с параметрами ? Чему равно математическое ожидание случайной величины , имеющей нормальное распределение с параметрами ? Чему равна дисперсия случайной величины , имеющей нормальное распределение с параметрами ? Как определяется плотность показательного распределения с параметром ? Чему равно математическое ожидание случайной величины , имеющей показательное распределение с параметром ? Чему равна дисперсия случайной величины , имеющей показательное распределение с параметром ?

Тестовые задания

Плотность распределения случайной величины обладает свойствами: Следующая функция может быть плотностью распределения случайной величины Если имеет распределение задаваемое таблицей , то дисперсию можно вычислить по формуле ; ; ; . Случайная величина имеет абсолютно – непрерывное распределение с плотностью . Тогда можно вычислить по формуле ; ; ; . Если случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке , то верно равенство Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке . Тогда выполняется равенство

a) ; б) ; в) ; г) .