Оглавление (стр. 17 )

Рассмотрим показатель

;

Обозначим

(т. к. - интеграл Пуассона) =

.

Т. о. .

Пусть имеет нормальное распределение с параметрами . Подсчитаем и .

;

.

;

.

.

Теорема. Если случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и , то случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами .

Доказательство.

Если имеет нормальное распределение с параметрами , то   и тогда .

Если , то .

Теорема доказана.

Замечание. Пусть случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами , а имеет нормальное распределение с параметрами . Тогда плотности распределения случайных величин и равны

,

.

Тогда по формуле свертки

.

Теорема. Пусть случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами , а имеет нормальное распределение с параметрами и случайные величины и независимы, тогда + имеет нормальное распределение с параметрами .

Доказательство.

Выпишем характеристические функции данных случайных величин

, .

, т. е. получили характеристическую функцию для суммы + с параметрами .

Теорема доказана.

Центральная предельная теорема. Теорема Муавра - Лапласа.

Центральная предельная теорема. Пусть последовательность независимых случайных величин, у каждой из которых существует , . Обозначим , , . Тогда при выполнении условия: , при справедливо соотношение: при и равномерно по .

Замечание. Поскольку , , то , а и тогда . Т. о. слева в утверждении теоремы находится функция распределения нормированных сумм независимых случайных величин.

Если имеет нормальное распределение с параметрами , то .

Если имеет нормальное распределение с параметрами , то , а .

Т. о. справа в утверждении теоремы находится функция распределения случайной величины имеющей нормальное распределение с параметрами . Т. о. в центральной предельной теореме (ЦПТ) утверждается, что распределение последовательности нормированных сумм независимых случайных величин сходится к стандартному нормальному распределению.

Применение ЦПТ.

Пусть дана последовательность случайных величин , удовлетворяющая условиям теоремы, и пусть требуется вычислить вероятность того, что . Имеем