Оглавление (стр. 15 )

.

Пример 2.

Пусть случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке , т. е.

Подсчитаем .

Пусть , тогда ;

Пусть , тогда ;

Пусть , тогда

.

Получаем функцию распределения в виде

График функции распределения равномерно распределенной абсолютно-непрерывной случайной величины.

Пример 3.

Пусть случайная величина имеет показательное распределение с параметром , то есть выполняется равенство

Подсчитаем при . (Очевидно, что при ).

. Таким образом, получили:

Тема 2 (11). Случайные векторы.

Определение. Борелевской - алгеброй в пространстве называется - алгебра, порожденная классом всех открытых параллелепипедов, т. е. множеств вида . Данная - алгебра обозначается и множества из борелевской - алгебры называются борелевскими множествами. Таким образом будем рассматривать измеримое пространство .

Определение. Пусть - вероятностное пространство. Случайным вектором называется отображение , обладающее свойством .

Замечание. Каждый случайный вектор представляет собой упорядоченный набор случайных величин: .

Определение. Пусть - некоторый случайный вектор. Распределением данного случайного вектора называется отображение , удовлетворяющее равенством , .

Теорема. Распределение удовлетворяет аксиомам Колмогорова и, следовательно, является вероятностью.

Теорему примем без доказательства.

Определение. Распределение случайного вектора называется дискретным, если существует такое не более чем счетное множество для которого .

Двумерный случайный вектор обычно обозначается . Дискретное распределение двумерного случайного вектора задается следующей таблицей

- значения, которые может принимать случайная величина , - значения которые может принимать случайная величина , и .

Определение. Распределение случайного вектора называется абсолютно – непрерывным, если существует такая измеримая функция , называемая плотностью распределения для которой выполняется условие: , .

Теорема. Плотность распределения случайного вектора обладает свойствами:

; почти всюду.

Теорема. Пусть случайный вектор имеет абсолютно – непрерывное распределение с плотностью . Тогда каждая компонента данного случайного вектора также имеет абсолютно – непрерывное распределение, причем справедливы равенства:

Доказательство.

Если случайная величина имеет абсолютно-непрерывное распределение с плотностью , то выполняется условие: , . Подсчитаем

(*)

(*) означает, что имеет абсолютно-непрерывное распределение и . Второе равенство доказывается аналогично.

Теорема доказана.

Теорема. Пусть случайный вектор имеет абсолютно-непрерывное распределение с плотностью . Тогда для того чтобы случайные величины и были независимы необходимо и достаточно выполнение условия: .

Доказательство.

и независимы , .