Оглавление (стр. 12 )

Доказательство.

Справедливость утверждений вытекает из цепочки равенств: .

Тема 3(9). Распределения случайных величин. Дискретные и абсолютно непрерывные распределения.

Определение. Пусть - вероятностное пространство, - множество действительных чисел, - борелевская - алгебра, - случайная величина. Распределением случайной величины называется отображение , определенное по формуле .

*Теорема. Распределение обладает свойствами:

, если .

Доказательство.

, что и требовалось доказать.

Таким образом, является вероятностью, а пространство является вероятностным пространством.

*Замечание. Вместо можно было бы взять , а вместо - соответствующую борелевскую - алгебру.

Определение. Функция называется измеримой по Борелю если выполняется условие где , то есть прообраз любого борелевского множества является борелевским.

Практически все могущие встретиться функции являются измеримыми по Борелю.

Теорема. Пусть - случайная величина, - измеримая функция. Тогда является случайной величиной.

Доказательство.

Пусть . Имеем: , что и требовалось доказать.

*Теорема. Пусть - случайная величина, - измеримая функция. Справедливо равенство , причем левая и правая части равенства существуют или нет одновременно.

Доказательство.

Имеем:

.

С другой стороны,

.

Таким образом, интересующие нас интегралы являются пределами равных между собой сумм. Следовательно, они существуют или нет одновременно, а если существуют, то совпадают. Теорема доказана.

*Следствие. Справедливы равенства: , .

Определение. Распределение называется дискретным, если в пространстве имеется не более, чем счетное множество точек , на котором сосредоточена мера (то есть ).

В дискретном случае полностью определяется мерами , приписанными отдельным точкам .

Лемма. Пусть - дискретное распределение, сосредоточенное на множестве . тогда для любого борелевского множества справедливо равенство .

*Доказательство.

В самом деле, , что и требовалось доказать.

Случайная величина , имеющая дискретное распределение сосредоточенное на , устроена следующим образом: принимает значения лишь из , причем , является вероятностями отдельных значений. Такое распределение можно задать таблицей .

Теорема. Пусть - случайная величина, имеющая дискретное распределение , - измеримая функция. Тогда справедливо равенство , где .

Теорему примем без доказательства.

Следствие 1. .

Следствие 2. .

Замечание. Данная формула и таблица распределения совпадают с теми, что мы имели в случае дискретного пространства . Сейчас может иметь любую мощность, но случайная величина принимает не более чем сетное число значений.

Определение. Распределение называется абсолютно непрерывным, если для любого борелевского множества справедливо равенство , где - измеримая функция, называемая плотностью распределения.

Теорема. Плотность распределения обладает следующими свойствами:

(с точностью до множества меры нуль); .

Доказательство.

В самом деле, . Следовательно, может быть отрицательной только на множестве нулевой меры. .

Теорема. Пусть - абсолютно – непрерывное распределение, - его плотность, - измеримая функция. Тогда справедливо равенство .